Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(5)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. A gente precisa mostrar que a função
realmente resolve essa equação. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais e derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
está dizendo.
é a derivada de
em relação a
, o que representa a taxa de variação de
. A equação relaciona essa taxa de variação com a própria função
multiplicada por uma constante
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
satisfaz essa equação. Para isso, precisamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original
:
Como os dois lados da equação são iguais, isso confirma que
é realmente uma solução da equação diferencial.
Passo 5
Agora, vamos determinar o maior intervalo em que essa solução é válida. A função exponencial
é definida para todo número real
, independente do valor de
. Portanto, a solução
é válida para todos os valores de
no conjunto dos números reais.
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
para todo número real
. O maior intervalo de validade é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
e
é a hélice circular parametrizada por
cost, sent,
.
- Resposta :
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(7)
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Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(6)
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Considere a integral de linha
.
(a) Determine a constante para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando encontrado, encontre a função potencial
, onde
.
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a
.
(a) Determine a constante
(b) Utilizando
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
- Respostas : (a)