Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(5) P' = r P ; P(t) = C e^(r t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . A gente precisa mostrar que a função realmente resolve essa equação. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais e derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está dizendo. é a derivada de em relação a , o que representa a taxa de variação de . A equação relaciona essa taxa de variação com a própria função multiplicada por uma constante .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função satisfaz essa equação. Para isso, precisamos calcular a derivada de :

Passo 4

Substituindo e na equação original :
Como os dois lados da equação são iguais, isso confirma que é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos determinar o maior intervalo em que essa solução é válida. A função exponencial é definida para todo número real , independente do valor de . Portanto, a solução é válida para todos os valores de no conjunto dos números reais.

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial para todo número real . O maior intervalo de validade é .

Exercícios relacionados