Considere a integral de linha
.
(a) Determine a constante
para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando
encontrado, encontre a função potencial
, onde
.
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
a
.
- Respostas : (a)
(a) Determine a constante
(b) Utilizando
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede pra gente analisar uma integral de linha específica:
. O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e condições para que a integral seja independente do caminho, usando campos vetoriais conservativos. Vamos precisar entender sobre campos vetoriais, condições para conservatividade e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde precisamos encontrar a constante
para que a integral seja independente do caminho. Para uma integral de linha ser independente do caminho, o campo vetorial associado deve ser conservativo. Isso significa que as derivadas parciais devem obedecer a condição de igualdade.
Temos o campo vetorial
. A condição para que
seja conservativo é que:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Com
, queremos encontrar a função potencial
tal que
e
.
A função potencial satisfaz:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Agora, derivando
em relação a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Usando
:
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Finalmente, na parte ©, queremos calcular a integral usando a função potencial, percorrendo de
a
. Para campos conservativos, a integral de linha é simplesmente a diferença na função potencial entre os pontos finais.
Calculando:
Resposta
(a)
;
(b) ;
© .
(b)
©