Considere a integral de linha integralc y2 d x-3 k x d y.
(a) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando k encontrado, encontre a função potencial varphi, onde varphi(0,0)=1.
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de (0,0) a (2,3).
  • Respostas : (a) k=-16 ;(b) varphi(x, y)=x y2+1 ;(c) 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede pra gente analisar uma integral de linha específica: . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e condições para que a integral seja independente do caminho, usando campos vetoriais conservativos. Vamos precisar entender sobre campos vetoriais, condições para conservatividade e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde precisamos encontrar a constante partial F1partial y = partial F2partial x para que a integral seja independente do caminho. Para uma integral de linha ser independente do caminho, o campo vetorial associado deve ser conservativo. Isso significa que as derivadas parciais devem obedecer a condição de igualdade.
Temos o campo vetorial partialpartial y( y2 ) = 12 . A condição para que partialpartial x(-3k x) = -3k seja conservativo é que:
12 = -3k Rightarrow k = -16
Calculando as derivadas:
Igualando as duas:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Com partial varphipartial x = y2 , queremos encontrar a função potencial partial varphipartial y = -3k x = 12 x tal que varphi(x, y) = y2 x + g(y) e partial varphipartial y = x2 + g'(y) = x2 .
A função potencial satisfaz:
varphi(0,0) = 0 + C = 1 Rightarrow C = 1
varphi(x, y) = x y2 + 1
Integrando a primeira equação em relação a :
Agora, derivando em relação a :
Isso implica que , então é uma constante. Usando :
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Finalmente, na parte ©, queremos calcular a integral usando a função potencial, percorrendo de varphi(2,3) - varphi(0,0) = ( 2 cdot 32 + 1 ) - 1 = (3 + 1) - 1 = 3 a . Para campos conservativos, a integral de linha é simplesmente a diferença na função potencial entre os pontos finais.
Calculando:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© .

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