Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(6)
(6)
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma equação diferencial dada por:
E uma função candidata para ser solução dessa equação:
Nosso objetivo é:
- Verificar se essa função realmente é uma solução da equação diferencial.
- Determinar o maior intervalo de valores de
para o qual essa solução é válida.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
- Derivadas, para calcular
. - Substituição, para substituir
e na equação diferencial. - Análise de intervalos, para encontrar onde a função é definida.
Passo 2
Calculando a Derivada de
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
A função dada é:
Vamos usar a regra da derivada da função composta. Se temos
, então:
Aplicando isso a
:
Então,
Passo 3
Substituindo
e
na Equação Diferencial
Agora, vamos substituir
e
na equação:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicando
por
:
Multiplicando por
:
Comparemos isso com a derivada que calculamos:
Vemos que:
Isso mostra que a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Determinando o Maior Intervalo de Validade da Solução
Para encontrar onde a solução é válida, precisamos garantir que o denominador na expressão de
não seja zero, pois isso tornaria a função indefinida.
A função é:
O denominador
nunca é zero porque:
-
é sempre positivo para qualquer real . -
também é positivo se . - Portanto,
, sempre positivo.
Assim, a função está definida para todo
.
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
e está definida para todo real
, ou seja,
.