Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma equação diferencial dada por:
E uma função candidata para ser solução dessa equação:
Nosso objetivo é:
  1. Verificar se essa função realmente é uma solução da equação diferencial.
  2. Determinar o maior intervalo de valores de para o qual essa solução é válida.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
  • Derivadas, para calcular .
  • Substituição, para substituir e na equação diferencial.
  • Análise de intervalos, para encontrar onde a função é definida.

Passo 2

Calculando a Derivada de
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
A função dada é:
Vamos usar a regra da derivada da função composta. Se temos , então:
Aplicando isso a :
Então,

Passo 3

Substituindo e na Equação Diferencial
Agora, vamos substituir e na equação:
Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicando por :
Multiplicando por :
Comparemos isso com a derivada que calculamos:
Vemos que:
Isso mostra que a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Determinando o Maior Intervalo de Validade da Solução
Para encontrar onde a solução é válida, precisamos garantir que o denominador na expressão de não seja zero, pois isso tornaria a função indefinida.
A função é:
O denominador nunca é zero porque:
  • é sempre positivo para qualquer real .
  • também é positivo se .
  • Portanto, , sempre positivo.
Assim, a função está definida para todo .

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial e está definida para todo real , ou seja, .

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  • Resposta :
Considere a integral de linha .
(a) Determine a constante para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando encontrado, encontre a função potencial , onde .
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a .
  • Respostas : (a)
Considere o campo vetorial definido por
(a) Mostre que o campo vetorial é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para .
© Calcule o trabalho de ao longo do caminho , sen , com .
  • Respostas : (a)