Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(6) P' = r P(1 - P) ; P(t) = 1 / (1 + C e^(-r t))

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma equação diferencial dada por:
E uma função candidata para ser solução dessa equação:
Nosso objetivo é:
  1. Verificar se essa função realmente é uma solução da equação diferencial.
  2. Determinar o maior intervalo de valores de para o qual essa solução é válida.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
  • Derivadas, para calcular .
  • Substituição, para substituir e na equação diferencial.
  • Análise de intervalos, para encontrar onde a função é definida.

Passo 2

Calculando a Derivada de
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
A função dada é:
Vamos usar a regra da derivada da função composta. Se temos , então:
Aplicando isso a :
Então,

Passo 3

Substituindo e na Equação Diferencial
Agora, vamos substituir e na equação:
Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicando por :
Multiplicando por :
Comparemos isso com a derivada que calculamos:
Vemos que:
Isso mostra que a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Determinando o Maior Intervalo de Validade da Solução
Para encontrar onde a solução é válida, precisamos garantir que o denominador na expressão de não seja zero, pois isso tornaria a função indefinida.
A função é:
O denominador nunca é zero porque:
  • é sempre positivo para qualquer real .
  • também é positivo se .
  • Portanto, , sempre positivo.
Assim, a função está definida para todo .

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial e está definida para todo real , ou seja, .

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