Considere o campo vetorial definido por
(a) Mostre que o campo vetorial é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para .
© Calcule o trabalho de ao longo do caminho , sen , com .
  • Respostas : (a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve um campo vetorial definido por
O conteúdo aqui está relacionado a campos vetoriais conservativos e cálculo de trabalho em campos vetoriais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar entender conceitos como rotacional, campos conservativos, funções potenciais e cálculo de trabalho.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 3

Calculando a primeira componente do rotacional:
Então, a primeira componente é .

Passo 4

Calculando a segunda componente do rotacional:
Então, a segunda componente é .

Passo 5

Calculando a terceira componente do rotacional:
Então, a terceira componente é .

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que:
Isso indica que o campo vetorial é conservativo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma função potencial para o campo vetorial . Uma função potencial satisfaz:
Ou seja,

Passo 8

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 9

Agora, usando :
Substituindo :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 10

Agora, usando :
Substituindo :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar , onde é uma constante.

Passo 11

Portanto, a função potencial é:

Passo 12

Finalmente, vamos calcular o trabalho de ao longo do caminho , com . Como é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 13

A função potencial é . Avaliando nos limites do intervalo:
  • Ponto inicial:
  • Ponto final:

Passo 14

Calculando nos pontos:

Passo 15

O trabalho é a diferença entre os valores da função potencial:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© .

Exercícios relacionados

Considere a integral de linha .
(a) Determine a constante para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando encontrado, encontre a função potencial , onde .
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a .
  • Respostas : (a)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(6)
Encontre a solução geral do sistema de equações dados.
Encontre a solução geral do sistema de equações dados.