Considere o campo vetorial F: R^3 -> R^3 definido por
F(x, y, z) = (e^z, 2yz, xe^z + y^2)
(a) Mostre que o campo vetorial F é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial phi para F.
© Calcule o trabalho de F ao longo do caminho r(t) = cos(t), sen t, t, com t in [0, 2 pi].
  • Respostas : (a) rot(F) = (0, 0, 0); (b) phi(x, y, z) = x e^(z) + y^2 z + k; (c) e^(2 pi) - 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve um campo vetorial F definido por
F(x, y, z) = (e^z, 2yz, xe^z + y^2)
O conteúdo aqui está relacionado a campos vetoriais conservativos e cálculo de trabalho em campos vetoriais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar entender conceitos como rotacional, campos conservativos, funções potenciais e cálculo de trabalho.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 3

Calculando a primeira componente do rotacional:
Então, a primeira componente é .

Passo 4

Calculando a segunda componente do rotacional:
Então, a segunda componente é .

Passo 5

Calculando a terceira componente do rotacional:
Então, a terceira componente é .

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que:
Isso indica que o campo vetorial F é conservativo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma função potencial phi para o campo vetorial F. Uma função potencial satisfaz:
Ou seja,

Passo 8

Integrando em relação a x:
Aqui, é uma função de integração que pode depender de y e z.

Passo 9

Agora, usando :
Substituindo :
Integrando em relação a y:
Onde é uma função que depende apenas de z.

Passo 10

Agora, usando :
Substituindo :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar , onde k é uma constante.

Passo 11

Portanto, a função potencial é:

Passo 12

Finalmente, vamos calcular o trabalho de F ao longo do caminho , com . Como é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 13

A função potencial é . Avaliando nos limites do intervalo:
  • Ponto inicial:
  • Ponto final:

Passo 14

Calculando phi nos pontos:

Passo 15

O trabalho é a diferença entre os valores da função potencial:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© .

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