Considere o campo vetorial
definido por
(a) Mostre que o campo vetorial
é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial
para
.
© Calcule o trabalho de
ao longo do caminho
, sen
, com
.
- Respostas : (a)
(b) Encontre uma função potencial
© Calcule o trabalho de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve um campo vetorial
definido por
O conteúdo aqui está relacionado a campos vetoriais conservativos e cálculo de trabalho em campos vetoriais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar entender conceitos como rotacional, campos conservativos, funções potenciais e cálculo de trabalho.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 3
Calculando a primeira componente do rotacional:
Então, a primeira componente é
.
Passo 4
Calculando a segunda componente do rotacional:
Então, a segunda componente é
.
Passo 5
Calculando a terceira componente do rotacional:
Então, a terceira componente é
.
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que:
Isso indica que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma função potencial
para o campo vetorial
. Uma função potencial satisfaz:
Ou seja,
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
e
.
Passo 9
Agora, usando
:
Substituindo
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 10
Agora, usando
:
Substituindo
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
, onde
é uma constante.
Passo 11
Portanto, a função potencial é:
Passo 12
Finalmente, vamos calcular o trabalho de
ao longo do caminho , com
. Como
é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 13
A função potencial é
. Avaliando nos limites do intervalo:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
Passo 14
Calculando
nos pontos:
Passo 15
O trabalho é a diferença entre os valores da função potencial:
Resposta
(a)
;
(b)
;
©
.