Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem legal aqui:
, e precisamos encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes, ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra. Além disso, queremos saber até onde essas séries convergem quando
se aproxima de 1, que é o nosso ponto central
. Para resolver isso, vamos usar o método das séries de potências e entender um pouquinho sobre como séries funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a substituição. Sabemos que:
Queremos expandir
em uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a série no ponto 1. Vamos definir
, então
. Agora, nossa série será em termos de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
em relação a
. Derivando termo a termo:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Para simplificar, vamos reorganizar os termos:
Passo 5
Agora, para manipular essas séries de forma mais fácil, vamos ajustar os índices para que todas as séries estejam em termos de
. Vamos substituir
na primeira soma:
E deixar as outras séries como estão:
Passo 6
Agora, precisamos expressar
em termos de
para manter tudo em potências de
:
Substituindo isso na segunda soma:
Agora, ajustamos os índices novamente para ter todas as potências de
com o mesmo expoente:
Passo 7
Juntando todas as séries em termos de
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 8
Igualando os coeficientes a zero, obtemos a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos resolver essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Primeiro, vamos escolher
e
como constantes arbitrárias, que vão determinar as duas soluções linearmente independentes.
Escolha 1:
,
Usando a relação para
:
Continuando para
:
E assim por diante, encontrando os demais coeficientes.
Escolha 2:
,
Usando a relação para
:
Para
:
E assim sucessivamente para os demais coeficientes.
Passo 10
Com os coeficientes determinados, podemos escrever as duas soluções em série de potências:
Solução 1 (
,
):
Solução 2 (
,
):
Essas duas soluções são linearmente independentes porque não são múltiplas uma da outra.
Passo 11
Para encontrar uma cota inferior para os raios de convergência dessas séries, podemos usar o teste da razão. Observamos que os coeficientes
estão crescendo de forma que o termo geral tende a se comportar como
, o que sugere que a série tem um raio de convergência infinito. Portanto, as séries convergem para todo
no domínio real.
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
Além disso, ambas as séries têm um raio de convergência infinito, ou seja, convergem para todo
real.
Exercícios relacionados
Verifique que se
é derivável em
, então
é contínua neste ponto. Dê um exemplo mostrando que
pode ser contínua em um ponto sem ser derivável nele.
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Sem resolver a equação, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto ordinário
dado.