Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário . Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem legal aqui: , e precisamos encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes, ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra. Além disso, queremos saber até onde essas séries convergem quando se aproxima de 1, que é o nosso ponto central . Para resolver isso, vamos usar o método das séries de potências e entender um pouquinho sobre como séries funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a substituição. Sabemos que:
Queremos expandir em uma série de potências em torno de . Para isso, vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a série no ponto 1. Vamos definir , então . Agora, nossa série será em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de em relação a . Derivando termo a termo:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Para simplificar, vamos reorganizar os termos:

Passo 5

Agora, para manipular essas séries de forma mais fácil, vamos ajustar os índices para que todas as séries estejam em termos de . Vamos substituir na primeira soma:
E deixar as outras séries como estão:

Passo 6

Agora, precisamos expressar em termos de para manter tudo em potências de :
Substituindo isso na segunda soma:
Agora, ajustamos os índices novamente para ter todas as potências de com o mesmo expoente:

Passo 7

Juntando todas as séries em termos de :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 8

Igualando os coeficientes a zero, obtemos a relação de recorrência:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, vamos resolver essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes . Primeiro, vamos escolher e como constantes arbitrárias, que vão determinar as duas soluções linearmente independentes.
Escolha 1: ,
Usando a relação para :
Continuando para :
E assim por diante, encontrando os demais coeficientes.
Escolha 2: ,
Usando a relação para :
Para :
E assim sucessivamente para os demais coeficientes.

Passo 10

Com os coeficientes determinados, podemos escrever as duas soluções em série de potências:
Solução 1 ( , ):
Solução 2 ( , ):
Essas duas soluções são linearmente independentes porque não são múltiplas uma da outra.

Passo 11

Para encontrar uma cota inferior para os raios de convergência dessas séries, podemos usar o teste da razão. Observamos que os coeficientes estão crescendo de forma que o termo geral tende a se comportar como , o que sugere que a série tem um raio de convergência infinito. Portanto, as séries convergem para todo no domínio real.

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de são:
Além disso, ambas as séries têm um raio de convergência infinito, ou seja, convergem para todo real.

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