Verifique que se
é derivável em
, então
é contínua neste ponto. Dê um exemplo mostrando que
pode ser contínua em um ponto sem ser derivável nele.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa mostrar duas coisas:
- Se a função
é derivável em , então ela também é contínua nesse ponto. - Dar um exemplo de uma função que é contínua em um ponto, mas não é derivável lá.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em
. Isso quer dizer que o limite que define a derivada existe:
Para esse limite existir, é necessário que o limite de
quando
aproxima de 0 seja igual a
, o que é justamente a definição de continuidade em
.
Passo 3
Então, se
é derivável em
, isso implica que:
Esse é o critério de continuidade. Portanto, derivabilidade em
garante a continuidade nesse ponto.
Passo 4
Agora, para a segunda parte, precisamos de um exemplo de função que seja contínua em um ponto, mas não derivável lá. Um clássico exemplo é o valor absoluto,
, no ponto
.
Passo 5
Vamos verificar:
Então,
é contínua em
. Mas se tentarmos calcular a derivada:
Esse limite não existe porque para
,
e para
,
. Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, a derivada não existe em
.
Resposta
Mostramos que se
é derivável em
, então
é contínua nesse ponto. Além disso, o exemplo
é contínuo em
mas não é derivável nesse ponto.