Verifique que se f(x) é derivável em x = a, então f é contínua neste ponto. Dê um exemplo mostrando que f pode ser contínua em um ponto sem ser derivável nele.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa mostrar duas coisas:
  1. Se a função é derivável em , então ela também é contínua nesse ponto.
  2. Dar um exemplo de uma função que é contínua em um ponto, mas não é derivável lá.
    Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em . Isso quer dizer que o limite que define a derivada existe:
Para esse limite existir, é necessário que o limite de quando aproxima de 0 seja igual a , o que é justamente a definição de continuidade em .

Passo 3

Então, se é derivável em , isso implica que:
Esse é o critério de continuidade. Portanto, derivabilidade em garante a continuidade nesse ponto.

Passo 4

Agora, para a segunda parte, precisamos de um exemplo de função que seja contínua em um ponto, mas não derivável lá. Um clássico exemplo é o valor absoluto, , no ponto .

Passo 5

Vamos verificar:
Então, é contínua em . Mas se tentarmos calcular a derivada:
Esse limite não existe porque para , e para , . Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, a derivada não existe em .

Resposta

Mostramos que se é derivável em , então é contínua nesse ponto. Além disso, o exemplo é contínuo em mas não é derivável nesse ponto.

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