Verifique que se
é derivável em
, então
é contínua neste ponto. Dê um exemplo mostrando que
pode ser contínua em um ponto sem ser derivável nele.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa mostrar duas coisas:
- Se a função
é derivável em , então ela também é contínua nesse ponto. - Dar um exemplo de uma função que é contínua em um ponto, mas não é derivável lá.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em
. Isso quer dizer que o limite que define a derivada existe:
Para esse limite existir, é necessário que o limite de
quando
aproxima de 0 seja igual a
, o que é justamente a definição de continuidade em
.
Passo 3
Então, se
é derivável em
, isso implica que:
Esse é o critério de continuidade. Portanto, derivabilidade em
garante a continuidade nesse ponto.
Passo 4
Agora, para a segunda parte, precisamos de um exemplo de função que seja contínua em um ponto, mas não derivável lá. Um clássico exemplo é o valor absoluto,
, no ponto
.
Passo 5
Vamos verificar:
Então,
é contínua em
. Mas se tentarmos calcular a derivada:
Esse limite não existe porque para
,
e para
,
. Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, a derivada não existe em
.
Resposta
Mostramos que se
é derivável em
, então
é contínua nesse ponto. Além disso, o exemplo
é contínuo em
mas não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
A)
B)
A)
B)
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.