Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário x_0. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas. y'' + x^2 y' + x y = 0, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: , em torno do ponto . O que precisamos fazer aqui é encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes. Além disso, vamos descobrir uma cota inferior para o raio de convergência dessas soluções. Para isso, vamos usar o método das séries de potências e um pouco de teoria sobre equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Vamos substituir , e na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo na equação:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de .

Passo 5

Ajustando os índices:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 6

Observando os termos de , temos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , cada coeficiente de deve ser zero:
Vamos isolar .

Passo 7

Isolando :
Isso nos dá a relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 8

Para encontrar as soluções, começamos escolhendo dois casos para os coeficientes iniciais, geralmente e , que geram duas soluções linearmente independentes.

Passo 9

Calculando os primeiros coeficientes:
  • Para a primeira solução, deixamos e .
  • Para a segunda solução, deixamos e .

Passo 10

Construindo as duas soluções com os coeficientes encontrados:
Essas duas séries são linearmente independentes.

Passo 11

Para encontrar a cota inferior do raio de convergência, usamos o teste da raiz ou a fórmula de Cauchy-Hadamard. Observando que os coeficientes não crescem rapidamente, podemos concluir que o raio de convergência é pelo menos 1.

Resposta

As duas soluções linearmente independentes em série de potências centradas em são:
E uma cota inferior para os raios de convergência dessas soluções é .

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