Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário . Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: , em torno do ponto . O que precisamos fazer aqui é encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes. Além disso, vamos descobrir uma cota inferior para o raio de convergência dessas soluções. Para isso, vamos usar o método das séries de potências e um pouco de teoria sobre equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de :
Vamos substituir , e na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo na equação:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de .
Passo 5
Ajustando os índices:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 6
Observando os termos de , temos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , cada coeficiente de deve ser zero:
Vamos isolar .
Passo 7
Isolando :
Isso nos dá a relação de recorrência para os coeficientes .
Passo 8
Para encontrar as soluções, começamos escolhendo dois casos para os coeficientes iniciais, geralmente e , que geram duas soluções linearmente independentes.
Passo 9
Calculando os primeiros coeficientes:
- Para a primeira solução, deixamos e .
- Para a segunda solução, deixamos e .
Passo 10
Construindo as duas soluções com os coeficientes encontrados:
Essas duas séries são linearmente independentes.
Passo 11
Para encontrar a cota inferior do raio de convergência, usamos o teste da raiz ou a fórmula de Cauchy-Hadamard. Observando que os coeficientes não crescem rapidamente, podemos concluir que o raio de convergência é pelo menos 1.
Resposta
As duas soluções linearmente independentes em série de potências centradas em são:
E uma cota inferior para os raios de convergência dessas soluções é .
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