Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
, em torno do ponto
. O que precisamos fazer aqui é encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes. Além disso, vamos descobrir uma cota inferior para o raio de convergência dessas soluções. Para isso, vamos usar o método das séries de potências e um pouco de teoria sobre equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo na equação:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
.
Passo 5
Ajustando os índices:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 6
Observando os termos de
, temos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, cada coeficiente de
deve ser zero:
Vamos isolar
.
Passo 7
Isolando
:
Isso nos dá a relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 8
Para encontrar as soluções, começamos escolhendo dois casos para os coeficientes iniciais, geralmente
e
, que geram duas soluções linearmente independentes.
Passo 9
Calculando os primeiros coeficientes:
- Para a primeira solução, deixamos
e . - Para a segunda solução, deixamos
e .
Passo 10
Construindo as duas soluções com os coeficientes encontrados:
Essas duas séries são linearmente independentes.
Passo 11
Para encontrar a cota inferior do raio de convergência, usamos o teste da raiz ou a fórmula de Cauchy-Hadamard. Observando que os coeficientes
não crescem rapidamente, podemos concluir que o raio de convergência é pelo menos 1.
Resposta
As duas soluções linearmente independentes em série de potências centradas em
são:
E uma cota inferior para os raios de convergência dessas soluções é
.