Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação de Cauchy-Euler homogênea:
. A gente vai usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial onde os coeficientes são funções de potência de
. Para resolver, a gente vai supor que a solução tem a forma
e descobrir o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Com isso, precisamos calcular as derivadas de
para substituir na equação original.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Agora, a equação fica:
Passo 5
Perceba que todos os termos têm
ou
. Para simplificar, vamos fatorar
:
Como
não é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, organizamos os termos:
Para essa igualdade ser válida para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 7
Resolvendo a segunda equação primeiro:
Agora, resolvendo a primeira equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
Passo 8
Com as raízes complexas da forma
, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.