Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas: x^2 y'' + y' + 4 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação de Cauchy-Euler homogênea: . A gente vai usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial onde os coeficientes são funções de potência de . Para resolver, a gente vai supor que a solução tem a forma e descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que . Com isso, precisamos calcular as derivadas de para substituir na equação original.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Agora, a equação fica:

Passo 5

Perceba que todos os termos têm ou . Para simplificar, vamos fatorar :
Como não é zero para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Agora, organizamos os termos:
Para essa igualdade ser válida para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação primeiro:
Agora, resolvendo a primeira equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:

Passo 8

Com as raízes complexas da forma , a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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