Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação de Cauchy-Euler homogênea:
. A gente vai usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial onde os coeficientes são funções de potência de
. Para resolver, a gente vai supor que a solução tem a forma
e descobrir o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Com isso, precisamos calcular as derivadas de
para substituir na equação original.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Agora, a equação fica:
Passo 5
Perceba que todos os termos têm
ou
. Para simplificar, vamos fatorar
:
Como
não é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, organizamos os termos:
Para essa igualdade ser válida para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 7
Resolvendo a segunda equação primeiro:
Agora, resolvendo a primeira equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
Passo 8
Com as raízes complexas da forma
, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
A)
B)
A)
B)
Calcule os limites.
Verifique que se
é derivável em
, então
é contínua neste ponto. Dê um exemplo mostrando que
pode ser contínua em um ponto sem ser derivável nele.
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.