Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário . Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo e precisa encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes, ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra. Além disso, temos que descobrir uma cota mínima para o raio de convergência dessas soluções quando a gente expande em torno de . Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais quando elas têm pontos ordinários, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo, temos:
Vamos distribuir e reescrever os índices para alinhar as potências de .

Passo 5

Multiplicando pelas séries, temos dois termos:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
Agora, vamos reindexar o segundo termo para que tenha a mesma potência de :
Deixe , então e quando , :
Substituindo de volta:
Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem em :

Passo 6

Agora, agrupamos os termos com a mesma potência de :
Para :
Para :
Essa é a relação de recorrência que nos ajuda a encontrar os coeficientes .

Passo 7

Vamos resolver a relação de recorrência.
Para :
Para :
Essa relação nos mostra como cada coeficiente depende dos anteriores.

Passo 8

Para encontrar duas soluções linearmente independentes, vamos considerar duas possibilidades:
  1. Começando com e
  2. Começando com e
Isso nos dará duas séries diferentes que não são múltiplas uma da outra.

Passo 9

Calculando alguns termos para a primeira solução ( , ):
  • Já sabemos que
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Portanto, a primeira solução começa assim:

Passo 10

Fazendo o mesmo para a segunda solução ( , ):
  • ,
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Portanto, a segunda solução começa assim:

Passo 11

Por fim, para determinar a cota inferior para o raio de convergência das séries, observamos os pontos singulares da equação diferencial. A equação tem termos com , o que significa que os pontos onde são singulares, ou seja, .
A distância do ponto ordinário até o ponto singular mais próximo é . Então, a cota inferior para o raio de convergência das séries é 1.

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de são:
e
Além disso, a cota inferior para os raios de convergência dessas séries é 1.

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(b)
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