Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
e precisa encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes, ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra. Além disso, temos que descobrir uma cota mínima para o raio de convergência dessas soluções quando a gente expande em torno de
. Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais quando elas têm pontos ordinários, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
. Ou seja:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo, temos:
Vamos distribuir
e reescrever os índices para alinhar as potências de
.
Passo 5
Multiplicando
pelas séries, temos dois termos:
- Multiplicando por
:
- Multiplicando por
:
Agora, vamos reindexar o segundo termo para que tenha a mesma potência de
:
Deixe
, então
e quando
,
:
Substituindo de volta:
Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem em
:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos com a mesma potência de
:
Para
:
Para
:
Essa é a relação de recorrência que nos ajuda a encontrar os coeficientes
.
Passo 7
Vamos resolver a relação de recorrência.
Para
:
Para
:
Essa relação nos mostra como cada coeficiente
depende dos anteriores.
Passo 8
Para encontrar duas soluções linearmente independentes, vamos considerar duas possibilidades:
- Começando com
e - Começando com
e
Isso nos dará duas séries diferentes que não são múltiplas uma da outra.
Passo 9
Calculando alguns termos para a primeira solução (
,
):
- Já sabemos que
- Para
: - Para
: - E assim por diante.
Portanto, a primeira solução começa assim:
Passo 10
Fazendo o mesmo para a segunda solução (
,
):
-
, - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Portanto, a segunda solução começa assim:
Passo 11
Por fim, para determinar a cota inferior para o raio de convergência das séries, observamos os pontos singulares da equação diferencial. A equação tem termos com
, o que significa que os pontos onde
são singulares, ou seja,
.
A distância do ponto ordinário
até o ponto singular mais próximo é
. Então, a cota inferior para o raio de convergência das séries é 1.
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
e
Além disso, a cota inferior para os raios de convergência dessas séries é 1.
Exercícios relacionados
Use as soluções explícitas
e
da equação de Legendre e escolhas apropriadas dos coeficientes
e
para obter os polinômios de Legendre
e
.
Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(b)
(b)
Determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.