Determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial complicada aqui e o objetivo é encontrar os pontos singulares dessa equação e classificá-los como regulares ou irregulares. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como identificar esses pontos e usar algumas regras básicas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. A equação que temos é:
A forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Para chegar nessa forma, vamos dividir toda a equação por
:
Simplificando os coeficientes
e
:
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos singulares. Esses são os valores de
onde os coeficientes
ou
se tornam indeterminados ou infinito, ou seja, onde o denominador se anula.
Observando
e
, vemos que os denominadores são:
- Para
: - Para
:
Então, os pontos onde os denominadores são zero são:
Portanto,
e
são os pontos singulares da nossa equação diferencial.
Passo 4
Agora que identificamos os pontos singulares, vamos classificá-los como regulares ou irregulares. Para isso, usamos os seguintes critérios:
- Um ponto singular
é regular se os limites de e são finitos quando se aproxima de . - Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos aplicar isso para cada ponto singular.
Passo 5
Para
:
Calculamos os limites:
-
(finito) -
(finito)
Como ambos os limites são finitos,
é um ponto singular regular.
Para
:
Calculamos os limites:
-
Ao substituir
, o denominador se aproxima de zero, então o limite tende a infinito. -
Como já não precisamos calcular o segundo limite, já que o primeiro não é finito, podemos concluir que
é um ponto singular irregular.
Resposta
Os pontos singulares da equação diferencial são:
-
(regular) -
(irregular)
Exercícios relacionados
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(b)
(b)
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Calcule os limites abaixo:
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
para mover uma partícula sobre
que é a fronteira do plano
com
e
, no sentido anti-horário.