Determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial complicada aqui e o objetivo é encontrar os pontos singulares dessa equação e classificá-los como regulares ou irregulares. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como identificar esses pontos e usar algumas regras básicas de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. A equação que temos é:
A forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Para chegar nessa forma, vamos dividir toda a equação por :
Simplificando os coeficientes e :

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos singulares. Esses são os valores de onde os coeficientes ou se tornam indeterminados ou infinito, ou seja, onde o denominador se anula.
Observando e , vemos que os denominadores são:
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos onde os denominadores são zero são:
Portanto, e são os pontos singulares da nossa equação diferencial.

Passo 4

Agora que identificamos os pontos singulares, vamos classificá-los como regulares ou irregulares. Para isso, usamos os seguintes critérios:
  • Um ponto singular é regular se os limites de e são finitos quando se aproxima de .
  • Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos aplicar isso para cada ponto singular.

Passo 5

Para :
Calculamos os limites:
  1. (finito)
  2. (finito)
Como ambos os limites são finitos, é um ponto singular regular.
Para :
Calculamos os limites:
  1. Ao substituir , o denominador se aproxima de zero, então o limite tende a infinito.
  2. Como já não precisamos calcular o segundo limite, já que o primeiro não é finito, podemos concluir que é um ponto singular irregular.

Resposta

Os pontos singulares da equação diferencial são:
  • (regular)
  • (irregular)

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(b)
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