Use as soluções explícitas e da equação de Legendre e escolhas apropriadas dos coeficientes e para obter os polinômios de Legendre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os polinômios de Legendre e usando as soluções explícitas da equação de Legendre. A matéria aqui envolve resolução de equações diferenciais e polinômios especiais. Para resolver isso, vamos precisar entender as soluções da equação de Legendre e como ajustar os coeficientes para obter os polinômios que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de Legendre é uma equação diferencial do tipo:
onde é um número inteiro não negativo. As soluções dessa equação são as funções de Legendre, que são importantes em física e engenharia, especialmente em problemas de potenciais esféricos.

Passo 3

Sabemos que para cada , existem duas soluções independentes da equação de Legendre, chamadas e . No entanto, para garantir que a solução seja um polinômio, que é fina e sem termos complicados, precisamos combinar essas soluções de forma apropriada usando coeficientes e . Então, a solução geral fica:

Passo 4

Nos casos dos polinômios de Legendre, queremos que nossa solução seja um polinômio de grau . Isso significa que devemos escolher e de modo que todos os termos que não são polinomiais em sejam cancelados. Normalmente, isso implica ajustar para que a parte não polinomial de desapareça, deixando apenas como o polinômio desejado.

Passo 5

Vamos aplicar isso para e . Para cada caso:
  1. Substituímos na equação de Legendre.
  2. Escrevemos as soluções e .
  3. Ajustamos e para eliminar os termos não polinomiais.
  4. O resultado final será o polinômio de Legendre correspondente.

Passo 6

Por exemplo, para :
  1. Substituímos na equação.
  2. Encontramos e .
  3. Ajustamos e para que seja um polinômio.
  4. O polinômio resultante é .
Repetimos o mesmo processo para e obtemos .

Resposta

Os polinômios de Legendre são:

Exercícios relacionados

Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário . Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(b)