Use as soluções explícitas
e
da equação de Legendre e escolhas apropriadas dos coeficientes
e
para obter os polinômios de Legendre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os polinômios de Legendre
e
usando as soluções explícitas da equação de Legendre. A matéria aqui envolve resolução de equações diferenciais e polinômios especiais. Para resolver isso, vamos precisar entender as soluções da equação de Legendre e como ajustar os coeficientes para obter os polinômios que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de Legendre é uma equação diferencial do tipo:
onde
é um número inteiro não negativo. As soluções dessa equação são as funções de Legendre, que são importantes em física e engenharia, especialmente em problemas de potenciais esféricos.
Passo 3
Sabemos que para cada
, existem duas soluções independentes da equação de Legendre, chamadas
e
. No entanto, para garantir que a solução seja um polinômio, que é fina e sem termos complicados, precisamos combinar essas soluções de forma apropriada usando coeficientes
e
. Então, a solução geral fica:
Passo 4
Nos casos dos polinômios de Legendre, queremos que nossa solução
seja um polinômio de grau
. Isso significa que devemos escolher
e
de modo que todos os termos que não são polinomiais em
sejam cancelados. Normalmente, isso implica ajustar
para que a parte não polinomial de
desapareça, deixando apenas
como o polinômio desejado.
Passo 5
Vamos aplicar isso para
e
. Para cada caso:
- Substituímos
na equação de Legendre. - Escrevemos as soluções
e . - Ajustamos
e para eliminar os termos não polinomiais. - O resultado final será o polinômio de Legendre correspondente.
Passo 6
Por exemplo, para
:
- Substituímos
na equação. - Encontramos
e . - Ajustamos
e para que seja um polinômio. - O polinômio resultante é
.
Repetimos o mesmo processo para
e obtemos
.
Resposta
Os polinômios de Legendre são:
Exercícios relacionados
Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(b)
(b)