Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada por . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre curvatura de curvas parametrizadas. Para isso, vamos precisar usar derivadas e operações vetoriais como o produto cruzado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de , que representa a velocidade vetorial da curva. Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que representa a aceleração vetorial. Derivando em relação a :

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto cruzado entre eles:

Passo 5

Vamos encontrar a magnitude de e do produto cruzado :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é:

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Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
Use as soluções explícitas e da equação de Legendre e escolhas apropriadas dos coeficientes e para obter os polinômios de Legendre e .
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário . Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.