Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário x_0. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas. (x-1) y'' + y' = 0, x0 = 0

Passo 1

Então, vamos resolver essa equação diferencial em torno do ponto . O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e soluções de equações diferenciais lineares. Para isso, precisamos entender como representar a solução como uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Distribuímos :

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de :
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero para encontrar uma relação de recorrência para .

Passo 6

Depois de igualar os coeficientes, obtemos uma relação que nos permite expressar em termos de . Resolvendo essa relação, encontramos os coeficientes da série de potência.

Passo 7

Encontramos que as soluções em série de potências são:
Essas soluções são linearmente independentes e satisfazem a equação diferencial dada.

Passo 8

Para encontrar uma cota inferior para os raios de convergência, observamos que a série de potências converge enquanto não houver singularidades próximas ao ponto . Como a única singularidade está em , a distância de até é 1. Portanto, o raio de convergência é pelo menos 1.

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes são e conforme encontradas, com um raio de convergência mínimo de 1.

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