Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário
. Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Passo 1
Então, vamos resolver essa equação diferencial
em torno do ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e soluções de equações diferenciais lineares. Para isso, precisamos entender como representar a solução
como uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Distribuímos
:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para encontrar uma relação de recorrência para
.
Passo 6
Depois de igualar os coeficientes, obtemos uma relação que nos permite expressar
em termos de
. Resolvendo essa relação, encontramos os coeficientes da série de potência.
Passo 7
Encontramos que as soluções em série de potências são:
Essas soluções são linearmente independentes e satisfazem a equação diferencial dada.
Passo 8
Para encontrar uma cota inferior para os raios de convergência, observamos que a série de potências converge enquanto não houver singularidades próximas ao ponto
. Como a única singularidade está em
, a distância de
até
é 1. Portanto, o raio de convergência é pelo menos 1.
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes são
e
conforme encontradas, com um raio de convergência mínimo de 1.