Se a equação indicial (2.12) tem duas raízes complexas, r1 = alpha + i beta e r2 = alpha - i beta, use a fórmula de Euler para escrever a solução geral complexa em termos das soluções reais, para x > 0,
u(x) = x^alpha cos(beta ln x) e v(x) = x^alpha sen(beta ln x)
Mostre que estas soluções são soluções fundamentais de (2.11) e portanto
y(x) = c1 * x^α * cos(β * ln(x)) + c2 * x^α * sen(β * ln(x))
é a solução geral de (2.11), para x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial (chamada aqui de equação indicial 2.12) que possui duas raízes complexas: e . O objetivo é usar a Fórmula de Euler para escrever a solução geral dessa equação em termos de soluções reais para . Além disso, precisamos mostrar que essas soluções são realmente soluções fundamentais da equação (2.11) e, por fim, obter a solução geral dessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, especialmente aquelas cujas soluções têm raízes complexas. Vamos também usar a Fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula de Euler, que é uma ferramenta poderosa para lidar com números complexos:
Isso significa que podemos expressar exponenciais complexas em termos de funções trigonométricas. No nosso caso, temos raízes complexas e , então vamos usar essa fórmula para escrever as soluções da equação diferencial de forma real.

Passo 3

A solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem com raízes complexas é dada por:
Aqui, usamos que , pois . Portanto, podemos reescrever a solução como:

Passo 4

Agora, identificamos as soluções reais e como:
Essas funções são obtidas separando as partes real e imaginária da solução complexa original utilizando a Fórmula de Euler.

Passo 5

Para mostrar que e são soluções fundamentais da equação (2.11), precisamos verificar que ambas satisfazem a equação diferencial e que são linearmente independentes.
Primeiro, vamos verificar se satisfaz a equação diferencial. Fazemos isso calculando as derivadas necessárias e substituindo de volta na equação (2.11). O mesmo processo se aplica para .

Passo 6

Após verificar que e satisfazem a equação diferencial, precisamos assegurar que elas são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano dessas funções:
Se o Wronskiano não for zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, são soluções fundamentais.

Passo 7

Calculando o Wronskiano com e , descobrimos que ele não é zero para . Isso confirma que e são soluções fundamentais da equação diferencial.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial (2.11) para é:

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