Prove:
(5x + 3) / (x^2 + 1) ≥ 5 ↔ 5x + 3 ≥ 5(x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar que:
Aqui, estamos lidando com inequações e álgebra básica. Para resolver isso, vamos manipular a inequação inicial para chegar à forma desejada, utilizando propriedades das desigualdades e operações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inequação inicial:
Nossa meta é isolar os termos para facilitar a comparação. Para isso, podemos multiplicar ambos os lados da inequação pelo denominador . Mas atenção! Precisamos saber se é positivo ou negativo, porque ao multiplicar ou dividir por uma quantidade negativa, a direção da desigualdade inverte.
No caso, sempre é maior que zero para qualquer valor real de , já que é sempre não negativo e adicionamos 1. Então, podemos multiplicar sem mudar o sentido da desigualdade.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por :
Assim, provamos a equivalência desejada:

Resposta

Pronto! Mostramos que multiplicando ambos os lados da inequação original pelo denominador positivo , chegamos à inequação , comprovando a equivalência.

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