Considere o polinômio do 2 .
grau
e suponha
. Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
a) se
, então
para todo
.
a) se
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se temos um polinômio do 2º grau da forma
com
e o discriminante
, então esse polinômio é sempre maior que zero para qualquer valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o discriminante e como ele nos ajuda a saber o comportamento do gráfico de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o discriminante, que é dado por
. Ele nos diz quantas raízes reais a equação
tem. Se
, temos duas raízes distintas; se
, temos uma raiz dupla; e se
, não há raízes reais, ou seja, a parábola não corta o eixo
.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
, o que significa que a parábola não intersecta o eixo
. Além disso, como
, o “boca” da parábola está voltada para cima. Isso nos diz que o vértice da parábola está acima do eixo
e que toda a parábola está acima desse eixo também.
Passo 4
Então, porque a parábola não toca o eixo
e está toda acima dele, isso significa que para qualquer valor de
, o valor de
será sempre positivo. Não há nenhum ponto onde a função seja zero ou negativa.
Passo 5
Vamos resumir: com
, a parábola abre para cima, e com
, não há pontos de interseção com o eixo
. Portanto, todo o gráfico está acima do eixo
, o que significa que
para todo
.
Resposta
Assim, mostramos que se
e
, então
é sempre maior que zero para qualquer valor de
.