Considere o polinômio do 2 . ° grau a*x^2 + b*x + c e suponha Delta < 0. Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
a) se a > 0, então a x^2 + b x + c > 0 para todo x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se temos um polinômio do 2º grau da forma com e o discriminante , então esse polinômio é sempre maior que zero para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o discriminante e como ele nos ajuda a saber o comportamento do gráfico de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o discriminante, que é dado por . Ele nos diz quantas raízes reais a equação tem. Se , temos duas raízes distintas; se , temos uma raiz dupla; e se , não há raízes reais, ou seja, a parábola não corta o eixo .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que , o que significa que a parábola não intersecta o eixo . Além disso, como , o “boca” da parábola está voltada para cima. Isso nos diz que o vértice da parábola está acima do eixo e que toda a parábola está acima desse eixo também.

Passo 4

Então, porque a parábola não toca o eixo e está toda acima dele, isso significa que para qualquer valor de , o valor de será sempre positivo. Não há nenhum ponto onde a função seja zero ou negativa.

Passo 5

Vamos resumir: com , a parábola abre para cima, e com , não há pontos de interseção com o eixo . Portanto, todo o gráfico está acima do eixo , o que significa que para todo .

Resposta

Assim, mostramos que se e , então é sempre maior que zero para qualquer valor de .

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