Resolva o problema de valor inicial (PVI), dado por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são
e
. Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar essas condições para encontrar a solução específica.
Passo 2
Vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Dividindo toda a equação por
, temos:
Isso transforma a equação em uma forma mais manejável, onde o termo
está isolado com um coeficiente que depende de
.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Seja
. Assim,
. Substituindo na equação simplificada:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 4
Para resolver essa equação de primeira ordem, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
, temos:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, usamos
:
Passo 9
Agora, usamos
:
Resposta
A solução do problema é: