Resolva o problema de valor inicial (PVI), dado por
{x^2 y'' + 3 x y' = 0, y(1) = 0, y'(1) = 4}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são e . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar essas condições para encontrar a solução específica.

Passo 2

Vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Dividindo toda a equação por , temos:
Isso transforma a equação em uma forma mais manejável, onde o termo está isolado com um coeficiente que depende de .

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Seja . Assim, . Substituindo na equação simplificada:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 4

Para resolver essa equação de primeira ordem, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por , temos:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação a , obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos :

Passo 9

Agora, usamos :

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados