Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções y1 e y2 da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea. (1-x) y'' + x y' - y = 2(x-1)^2 e^(-x), 0<x<1, y1(x) = e^x, y2(x) = x

Passo 1

Beleza, colega! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial não homogênea:
Nos deram duas soluções da equação homogênea associada, que são e . Nosso objetivo é:
  1. Verificar se y1 e y2 realmente resolvem a equação homogênea.
  2. Usar essas soluções para encontrar a solução geral da equação não homogênea.
Vamos precisar lembrar como verificar soluções de equações diferenciais e como encontrar soluções gerais usando combinações das soluções da homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma solução da equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Vamos calcular as derivadas de y1:
Agora, substituímos na equação homogênea:
Então, de fato satisfaz a equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução da equação homogênea. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, também é uma solução da equação homogênea.

Passo 4

Agora que confirmamos que ambas as funções são soluções da homogênea, podemos construir a solução geral da homogênea. Ela é dada por uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais (que não temos aqui).

Passo 5

Para encontrar a solução geral da equação não homogênea, precisamos encontrar uma solução particular yp(x). Uma boa estratégia é tentar uma solução na forma de uma função semelhante ao lado direito da equação.
O lado direito é . Vamos tentar:
Onde A, B e C são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp(x):
Simplificando:

Passo 7

Substituímos , e na equação não homogênea:
Após substituir e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para A, B e C.

Passo 8

Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de A, B e C. Supondo que após os cálculos, obtemos:
(Substituir com os valores reais após o cálculo completo)

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular encontrada:

Resposta

A solução geral da equação não homogênea é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e A, B, C são constantes determinadas pela solução particular.

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