Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Passo 1
Beleza, colega! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial não homogênea:
Nos deram duas soluções da equação homogênea associada, que são
e
. Nosso objetivo é:
- Verificar se
e realmente resolvem a equação homogênea. - Usar essas soluções para encontrar a solução geral da equação não homogênea.
Vamos precisar lembrar como verificar soluções de equações diferenciais e como encontrar soluções gerais usando combinações das soluções da homogênea mais uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma solução da equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos na equação homogênea:
Então,
de fato satisfaz a equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também é uma solução da equação homogênea. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto,
também é uma solução da equação homogênea.
Passo 4
Agora que confirmamos que ambas as funções são soluções da homogênea, podemos construir a solução geral da homogênea. Ela é dada por uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais (que não temos aqui).
Passo 5
Para encontrar a solução geral da equação não homogênea, precisamos encontrar uma solução particular
. Uma boa estratégia é tentar uma solução na forma de uma função semelhante ao lado direito da equação.
O lado direito é
. Vamos tentar:
Onde
,
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação não homogênea:
Após substituir e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para
,
e
.
Passo 8
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de
,
e
. Supondo que após os cálculos, obtemos:
(Substituir com os valores reais após o cálculo completo)
Passo 9
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular encontrada:
Resposta
A solução geral da equação não homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
,
,
são constantes determinadas pela solução particular.
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