Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e métodos de resolução como a solução complementar e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Encontrar essa solução é importante porque ela nos dá a base para encontrar a solução geral da equação completa.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea , montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação, encontramos as raízes:
Com essas raízes, a solução complementar (solução da homogênea) é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Vamos usar o método da variação de parâmetros, que é eficaz para encontrar soluções particulares quando a equação não possui uma forma que se encaixe facilmente nos métodos de coeficientes indeterminados.

Passo 5

No método da variação de parâmetros, a solução particular é dada por:
onde:
  • é o Wronskiano das soluções e .

Passo 6

Vamos calcular o Wronskiano :

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da solução particular:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos resolver as integrais:
  1. Primeira integral:
Fazendo a substituição , então e .
Substituindo:
Usando frações parciais:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
  1. Segunda integral:
Fazendo a substituição , então .
Integrando:

Passo 9

Substituindo as integrais de volta na expressão de :
Simplificando:

Resposta

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções e da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.