Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e métodos de resolução como a solução complementar e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Encontrar essa solução é importante porque ela nos dá a base para encontrar a solução geral da equação completa.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea , montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação, encontramos as raízes:
Com essas raízes, a solução complementar (solução da homogênea) é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa . Vamos usar o método da variação de parâmetros, que é eficaz para encontrar soluções particulares quando a equação não possui uma forma que se encaixe facilmente nos métodos de coeficientes indeterminados.
Passo 5
No método da variação de parâmetros, a solução particular é dada por:
onde:
é o Wronskiano das soluções e .
Passo 6
Vamos calcular o Wronskiano :
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da solução particular:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos resolver as integrais:
Primeira integral:
Fazendo a substituição , então e .
Substituindo:
Usando frações parciais:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Segunda integral:
Fazendo a substituição , então .
Integrando:
Passo 9
Substituindo as integrais de volta na expressão de :
Simplificando:
Resposta
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.