Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir. y'' + y' - 6y = 2x^3 + 5x^2 - 7x + 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta é para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar envolve resolver equações diferenciais lineares, especificamente encontrando a solução geral que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular. Vamos precisar conhecer métodos para resolver a equação homogênea associada e técnicas para encontrar uma solução particular adequada para o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o lado direito:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos por e obtemos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Aqui, , , e . Calculando:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Com esses valores de , podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. O lado direito da equação é um polinômio de terceiro grau ( ), então assumimos que também será um polinômio de terceiro grau:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 6

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para o termo constante:

Passo 8

Com os valores de , , e encontrados, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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