Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta é para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar envolve resolver equações diferenciais lineares, especificamente encontrando a solução geral que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular. Vamos precisar conhecer métodos para resolver a equação homogênea associada e técnicas para encontrar uma solução particular adequada para o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o lado direito:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos
por
e obtemos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Aqui,
,
, e
. Calculando:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com esses valores de
, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. O lado direito da equação é um polinômio de terceiro grau (
), então assumimos que
também será um polinômio de terceiro grau:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para o termo constante:
Passo 8
Com os valores de
,
,
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.