Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem: . Vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares não homogêneas quando o termo não homogêneo (neste caso, ) é de uma forma específica, como polinômios, exponenciais, senos ou cossenos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é obtida igualando o lado direito a zero:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. Suponha que a solução seja da forma . Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:
As raízes são e .
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea . Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados, como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio de segundo grau:
Derivando:
Substituindo , e na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Para :
Para :
ãáããáá
Para o termo constante:
Como não há termo constante no lado direito, podemos escolher .

Passo 4

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

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Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções e da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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