Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
. Vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares não homogêneas quando o termo não homogêneo (neste caso,
) é de uma forma específica, como polinômios, exponenciais, senos ou cossenos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é obtida igualando o lado direito a zero:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. Suponha que a solução seja da forma
. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
As raízes são
e
.
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea
. Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados, como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio de segundo grau:
Derivando:
Substituindo
,
e
na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Como não há termo constante no lado direito, podemos escolher
.
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
Exercícios relacionados
Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.