Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para encontrar a solução geral, precisamos achar duas partes: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que se ajusta ao lado direito da equação. Vamos precisar usar métodos como a equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, usamos a equação característica, que no caso é . Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias ( ), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui, , , , e são coeficientes que vamos encontrar.
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Agora, substituímos e na equação original:
Depois de substituir e reorganizar os termos, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de , , , e . Esse processo envolve um pouco de álgebra, mas finalmente encontramos:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções e da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)