Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para encontrar a solução geral, precisamos achar duas partes: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que se ajusta ao lado direito da equação. Vamos precisar usar métodos como a equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, usamos a equação característica, que no caso é
. Resolvendo para
:
Como as raízes são imaginárias (
), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui,
,
,
, e
são coeficientes que vamos encontrar.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Depois de substituir e reorganizar os termos, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
,
,
, e
. Esse processo envolve um pouco de álgebra, mas finalmente encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea
e a solução particular
para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)