Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções y1 e y2 da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea. x^2 y'' - x(x + 2) y' + (x + 2) y = 2 x^3, x > 0, y1(x) = x, y2(x) = x e^x

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial não homogênea:
E duas soluções da equação homogênea associada:
Vamos precisar verificar se essas funções realmente satisfazem a equação homogênea e, depois, usar elas para encontrar a solução geral da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação homogênea associada é quando o lado direito é zero:
Vamos verificar se é uma solução.

Passo 3

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea:
Então, é realmente uma solução.

Passo 4

Agora, vamos verificar .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então, também é uma solução.

Passo 5

Agora que confirmamos que e são soluções da equação homogênea, podemos escrever a solução geral da homogênea:
onde e são constantes.

Passo 6

Para encontrar a solução geral da equação não homogênea, precisamos achar uma solução particular que satisfaça:
Vamos tentar uma solução do tipo polinomial. Suponha que:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Distribuindo:
Agrupando termos:
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Igualando os expoentes e os coeficientes:
Aqui vemos que , o que não é possível. Isso significa que nossa suposição está falhando porque a solução particular está na forma das soluções homogêneas. Precisamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos tentar multiplicar por para ajustar, já que a tentativa anterior colidiu com as soluções homogêneas. Suponha:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando e comparando os termos, encontramos que:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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