Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial não homogênea:
E duas soluções da equação homogênea associada:
Vamos precisar verificar se essas funções realmente satisfazem a equação homogênea e, depois, usar elas para encontrar a solução geral da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação homogênea associada é quando o lado direito é zero:
Vamos verificar se
é uma solução.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea:
Então,
é realmente uma solução.
Passo 4
Agora, vamos verificar
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então,
também é uma solução.
Passo 5
Agora que confirmamos que
e
são soluções da equação homogênea, podemos escrever a solução geral da homogênea:
onde
e
são constantes.
Passo 6
Para encontrar a solução geral da equação não homogênea, precisamos achar uma solução particular
que satisfaça:
Vamos tentar uma solução do tipo polinomial. Suponha que:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Distribuindo:
Agrupando termos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Igualando os expoentes e os coeficientes:
Aqui vemos que
, o que não é possível. Isso significa que nossa suposição está falhando porque a solução particular está na forma das soluções homogêneas. Precisamos tentar outra abordagem.
Passo 9
Vamos tentar multiplicar por
para ajustar, já que a tentativa anterior colidiu com as soluções homogêneas. Suponha:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando e comparando os termos, encontramos que:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.