Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem dada:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral. Nesse método, a solução geral é a soma da solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma:
Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Passo 4
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 3 (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 3:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para a constante:
Passo 9
Com os valores de
,
,
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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