Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem dada:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral. Nesse método, a solução geral é a soma da solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma:
Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Passo 4

Com as raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 3 ( ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 3:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para a constante:

Passo 9

Com os valores de , , e encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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