Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Isso significa que precisamos encontrar uma função
que, ao derivarmos duas vezes e somarmos ela mesma, o resultado seja
. Para resolver isso, vamos usar o método da solução geral, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e adicionar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação não homogênea:
Vamos escolher uma forma para
que, ao substituir na equação, funcione. Observando que
, podemos propor:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
e
.
Passo 8
Analisando os coeficientes:
- Termo com
:
Então,→
Mas isso não é possível poisdeve ser constante. Isso indica que nossa suposição inicial para não é adequada.
Passo 9
Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que
, então a equação fica:
Já que
é parte da equação homogênea, vamos focar em
. Vamos propor uma solução particular da forma:
Passo 10
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 11
Substituindo
e
na equação:
Novamente, enfrentamos um problema com os termos não alinhados. Parece que precisaremos usar o método de variação das constantes.
Passo 12
Vamos usar o método da variação das constantes. Sabemos que a solução geral é:
Onde
.
Assumimos que:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 13
Calculando as derivadas de
:
Passo 14
Substituindo
,
e
na equação original:
Após simplificações, e aplicando condições para eliminar termos complicados, obtemos um sistema para
e
.
Passo 15
Resolvendo o sistema, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 16
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)