Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Isso significa que precisamos encontrar uma função que, ao derivarmos duas vezes e somarmos ela mesma, o resultado seja . Para resolver isso, vamos usar o método da solução geral, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e adicionar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Vamos escolher uma forma para que, ao substituir na equação, funcione. Observando que , podemos propor:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar e .

Passo 8

Analisando os coeficientes:
  • Termo com :
    Então,
    Mas isso não é possível pois deve ser constante. Isso indica que nossa suposição inicial para não é adequada.

Passo 9

Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que , então a equação fica:
Já que é parte da equação homogênea, vamos focar em . Vamos propor uma solução particular da forma:

Passo 10

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 11

Substituindo e na equação:
Novamente, enfrentamos um problema com os termos não alinhados. Parece que precisaremos usar o método de variação das constantes.

Passo 12

Vamos usar o método da variação das constantes. Sabemos que a solução geral é:
Onde .
Assumimos que:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 13

Calculando as derivadas de :

Passo 14

Substituindo , e na equação original:
Após simplificações, e aplicando condições para eliminar termos complicados, obtemos um sistema para e .

Passo 15

Resolvendo o sistema, encontramos:
Portanto, a solução particular é:

Passo 16

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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