Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução do tipo , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Isso resulta em , o que não é possível. Isso significa que nossa suposição inicial para é inadequada porque já faz parte da solução homogênea.

Passo 8

Quando a forma da solução particular é uma solução da homogênea, multiplicamos por . Então, tentamos .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, , ou seja, .

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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