Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução do tipo
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso resulta em
, o que não é possível. Isso significa que nossa suposição inicial para
é inadequada porque
já faz parte da solução homogênea.
Passo 8
Quando a forma da solução particular é uma solução da homogênea, multiplicamos por
. Então, tentamos
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então,
, ou seja,
.
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções
e
da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.