Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 3
A equação característica para nossa equação homogênea é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos assumir que a solução particular também é um polinômio de segundo grau:
onde , e são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de :
Passo 8
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 9
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
De , temos .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: