Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

A equação característica para nossa equação homogênea é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes:

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos assumir que a solução particular também é um polinômio de segundo grau:
onde , e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 9

Vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:

Passo 12

Então, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Para cada equação diferencial, são dadas duas soluções e da homogênea associada. Verifique que cada uma delas é realmente solução e use-as para encontrar a solução geral da não homogênea.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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