Para cada equação da elipse abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros a, b, c, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos. Esboçar o gráfico.
c) 4(x+2)² + 8y² = 32.

Passo 1

Vamos resolver a equação da elipse . O conteúdo que vamos usar aqui envolve propriedades das elipses, como identificação do centro, dos parâmetros e , cálculo de , das coordenadas dos vértices e dos focos. Para isso, precisaremos reescrever a equação no formato padrão da elipse e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada em é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 32:
Simplificando:

Passo 3

Agora, identificamos os parâmetros comparando com a forma padrão. Temos:
Portanto, o centro da elipse é .
Além disso:

Passo 4

Para encontrar , que é a distância do centro aos focos, usamos a relação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, determinamos as coordenadas dos vértices. Como , a elipse está alongada na direção . Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior.
Centro:

Passo 6

Em seguida, encontramos as coordenadas dos focos. Eles estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior.

Resposta

  • Centro da elipse:
  • Parâmetros:
  • Vértices:
  • Focos:
  • Esboço do gráfico:
A elipse está centrada em , com eixo maior ao longo do eixo e eixo menor ao longo do eixo . Os vértices estão a unidades à esquerda e à direita do centro, e os focos estão a 2 unidades à esquerda e à direita do centro.

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