Para cada equação da elipse abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros
, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos. Esboçar o gráfico.
c)
.
c)
Passo 1
Vamos resolver a equação da elipse
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve propriedades das elipses, como identificação do centro, dos parâmetros
e
, cálculo de
, das coordenadas dos vértices e dos focos. Para isso, precisaremos reescrever a equação no formato padrão da elipse e aplicar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada em
é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 32:
Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos os parâmetros comparando com a forma padrão. Temos:
Portanto, o centro da elipse é
.
Além disso:
Passo 4
Para encontrar
, que é a distância do centro aos focos, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, determinamos as coordenadas dos vértices. Como
, a elipse está alongada na direção
. Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior.
Centro:
Passo 6
Em seguida, encontramos as coordenadas dos focos. Eles estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior.
Resposta
- Centro da elipse:
- Parâmetros:
-
- Vértices:
-
- Focos:
-
- Esboço do gráfico:
A elipse está centrada em
, com eixo maior ao longo do eixo
e eixo menor ao longo do eixo
. Os vértices estão a
unidades à esquerda e à direita do centro, e os focos estão a 2 unidades à esquerda e à direita do centro.