Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
integral triplaE raizx^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^32 d V
em que E é o sólido exterior ao cone z=raizx^2+y^23 e interior ao paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral envolve uma função complicada e a região de integração está entre um cone e um paraboloide. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter para coordenadas esféricas, identificar os limites da região e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, a posição de um ponto no espaço é descrita por três parâmetros: x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano , medindo a partir do eixo ) e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo ). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos transformar o integrando para coordenadas esféricas. A função dada é:
raizx^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^32
Em coordenadas esféricas, temos rho sin phirho^3 = sin phirho^2 e . Substituindo na função:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para a região z = raizx^2+y^23 Rightarrow rho cos phi = raizrho^2 sin^2 phi3 Rightarrow cos phi = sin phiraiz3 Rightarrow tan phi = raiz3 . A região está entre o cone z = x^2+y^2 Rightarrow rho cos phi = rho^2 sin^2 phi Rightarrow rho = cos phisin^2 phi e o paraboloide .
Primeiro, vamos converter essas superfícies para coordenadas esféricas:
Para o cone:
Então, .
Para o paraboloide:
Isso nos dá o limite superior para em função de .

Passo 5

Com base nisso, podemos definir os limites de integração:
  • varia de a (cobrindo todo o círculo).
  • varia de a (entre o eixo e o cone).
  • varia de até (do vértice até o paraboloide).

Passo 6

Agora, vamos montar a integral tripla com os limites definidos e o integrando em coordenadas esféricas:
integral triplaE sin phirho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi3 integral0^cos phisin^2 phi sin^2 phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a integral:
integral0^2pi dtheta integral0^pi3 sin^2 phi [ rho ]0^cos phisin^2 phi dphi = integral0^2pi dtheta integral0^pi3 sin^2 phi cdot cos phisin^2 phi dphi = integral0^2pi dtheta integral0^pi3 cos phi , dphi
Agora, integramos em relação a integral0^pi3 cos phi , dphi = [ sin phi ]0^pi3 = sin( pi3 ) - sin(0) = raiz32 :
integral0^2pi raiz32 , dtheta = raiz32 cdot 2pi = raiz3 pi
Então, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

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