1,5 Calcule a área de um toro parametrizado por r(u, v) = (a + b cos(v)) cos(u) i + (a + b cos(v)) sen(u) j + b sen v k, onde a > b > 0 e 0 <= u <= 2 pi e 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área de um toro. O toro está parametrizado pela função , onde e variam de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma superfície parametrizada. Se temos uma superfície dada por , a área é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e representa o produto vetorial. O símbolo indica a norma (ou magnitude) do vetor resultante.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial .
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Fatorando da expressão:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão sobre os intervalos dados para e :
Como não depende de , a integral em é simplesmente multiplicada por :

Passo 7

Vamos resolver a integral em :
O termo é zero porque a função cosseno tem média zero no intervalo de a .

Passo 8

Finalmente, multiplicando pelo que tínhamos fatorado:

Resposta

A área do toro é .

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