Calcule a área de um toro parametrizado por
sen
, onde
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área de um toro. O toro está parametrizado pela função , onde
e
variam de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma superfície parametrizada. Se temos uma superfície dada por
, a área
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
representa o produto vetorial. O símbolo
indica a norma (ou magnitude) do vetor resultante.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
.
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Fatorando
da expressão:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão sobre os intervalos dados para
e
:
Como
não depende de
, a integral em
é simplesmente multiplicada por
:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
:
O termo
é zero porque a função cosseno tem média zero no intervalo de
a
.
Passo 8
Finalmente, multiplicando pelo
que tínhamos fatorado:
Resposta
A área do toro é
.