Determine as derivadas parciais indicadas.
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
, e precisamos encontrar a derivada parcial mista
. Isso envolve o cálculo das derivadas parciais em relação a
,
e
nessa ordem. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação exponencial.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função para facilitar a diferenciação. A expressão
pode ser simplificada como
, já que
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. A derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Usando a mesma regra de diferenciação:
A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Por fim, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Vamos derivar cada termo separadamente:
Aplicando a regra do produto, temos:
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Resposta
A derivada parcial mista
é: