Resolva os problemas abaixo: dI/dt + 10I/(2t + 5) = 10, I(0) = 0.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial I(0) = 0. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identifique a equação no formato padrão de primeira ordem: . No nosso caso, e .

Passo 3

Em equações diferenciais lineares, usamos um fator integrante para facilitar a resolução. Vamos calcular .

Passo 4

Calcule a integral de P(t):
Fazendo a substituição , temos ou . Assim:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplique toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o segundo termo:
Pela propriedade do fator integrante, a equação fica:

Passo 6

Integre ambos os lados em relação a t:
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Calcule a integral do lado direito:
Usando a substituição , , ou :

Passo 8

Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar C:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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