Resolva os problemas abaixo:
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, identifique a equação no formato padrão de primeira ordem:
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Em equações diferenciais lineares, usamos um fator integrante
para facilitar a resolução. Vamos calcular
.
Passo 4
Calcule a integral de
:
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplique toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o segundo termo:
Pela propriedade do fator integrante, a equação fica:
Passo 6
Integre ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Calcule a integral do lado direito:
Usando a substituição
,
, ou
:
Passo 8
Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: