Encontre uma solução do PVI de forma explícita e determine o maior intervalo para o qual a solução está definida.
{ (1/(2x-6)) y' = (1/(2y+4)), x != 3; y(0) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me passou! A gente tem uma equação diferencial onde precisamos achar a função que satisfaz a equação e passa pelo ponto . A matéria aqui é sobre equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todas as expressões com de um lado e com do outro:
Esse passo é importante porque permite que a gente integre cada lado com respeito à sua respectiva variável.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
Integrando, a gente tem:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 6

Substituímos de volta na equação:
Para deixar a solução explícita para , podemos reorganizar a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática em :
Como estamos buscando uma solução que passa por , escolhemos o sinal positivo:
á
Simplificando:

Resposta

A solução explícita do PVI é e ela está definida para todo o intervalo real .

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