Encontre uma solução do PVI de forma explícita e determine o maior intervalo para o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me passou! A gente tem uma equação diferencial onde precisamos achar a função
que satisfaz a equação e passa pelo ponto
. A matéria aqui é sobre equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todas as expressões com
de um lado e com
do outro:
Esse passo é importante porque permite que a gente integre cada lado com respeito à sua respectiva variável.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Integrando, a gente tem:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 6
Substituímos
de volta na equação:
Para deixar a solução explícita para
, podemos reorganizar a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática em
:
Como estamos buscando uma solução que passa por
, escolhemos o sinal positivo:
Simplificando:
Resposta
A solução explícita do PVI é
e ela está definida para todo o intervalo real
.