Use a substituição para resolver a seguinte equação diferencial ordinária homogênea

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial homogênea que precisa ser resolvida usando a substituição . A matéria envolvida aqui é as equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente as equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição proposta e manipular a equação para encontrar uma solução.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Agora, vamos substituir e na equação original.

Passo 4

A equação original é:
Substituindo , temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Vamos isolar :
Então:
Reorganizando para separar as variáveis:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, resolvemos a integral à esquerda. Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Portanto:
A integral à direita é:
Igualando as duas integrais:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos reescrever:
Onde .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)
Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e .
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)
Calcule as seguintes integrais: