Use a substituição
para resolver a seguinte equação diferencial ordinária homogênea
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial homogênea que precisa ser resolvida usando a substituição
. A matéria envolvida aqui é as equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente as equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição proposta e manipular a equação para encontrar uma solução.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição
. Isso implica que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Agora, vamos substituir
e
na equação original.
Passo 4
A equação original é:
Substituindo
, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Vamos isolar
:
Então:
Reorganizando para separar as variáveis:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, resolvemos a integral à esquerda. Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. Portanto:
A integral à direita é:
Igualando as duas integrais:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde
é uma constante arbitrária. Podemos reescrever:
Onde
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)
Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e
.
a)
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções,
e
, e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum
). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)
c)
Calcule as seguintes integrais: