Calcule as integrais: integral r^3 ln (r) d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral r^3 ln(r) dr. Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser nosso “u” e “dv” na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u e dv de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = ln(r)
    Assim, a derivada será du = 1r dr
  • dv = r^3 dr
    Integrando dv, temos v = r^44

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral r^3 ln(r) dr = ln(r) cdot r^44 - integral r^44 cdot 1r dr
Simplificando a segunda integral:
r^44 cdot 1r = r^34

Passo 5

Agora, temos que calcular a integral restante:
integral r^34 dr = 14 integral r^3 dr = 14 cdot r^44 = r^416

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral r^3 ln(r) dr = r^44 ln(r) - r^416 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
integral r^3 ln(r) dr = r^44 ln(r) - r^416 + C

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