Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
e
, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com quádricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis (x, y e z). O que a gente precisa fazer aqui é:
- Identificar a quádrica apresentada.
- Determinar onde ela intercepta os planos coordenados
, e . - Fazer um esboço dessa quádrica para entender melhor como ela se parece.
O exercício que vamos resolver é a equação:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a quádrica da equação dada:
Essa é uma equação que se parece muito com a de uma esfera, que geralmente tem a forma:
Onde
é o centro e
é o raio. No nosso caso, parece que temos uma esfera com centro em
e raio zero. Isso significa que a quádrica é, na verdade, um ponto no espaço.
Passo 3
Agora, vamos determinar a interseção dessa quádrica com o plano
. Para isso, fixamos
na equação:
A soma de quadrados só dá zero quando cada termo individual é zero. Então:
Ou seja,
e
. Portanto, a interseção com o plano
é o ponto
.
Passo 4
Vamos agora ver a interseção com o plano
. Fixamos
na equação:
Novamente, a soma de quadrados dá zero apenas se cada termo for zero:
Portanto,
e
. A interseção com o plano
também é o ponto
.
Passo 5
Por último, vamos determinar a interseção com o plano
. Fixamos
na equação:
Aqui, temos um problema porque
(algum número positivo ou zero) nunca será zero. Ou seja, não há nenhum ponto de interseção com o plano
.
Passo 6
Agora que já sabemos que a quádrica é um ponto
e que suas únicas interseções com os planos coordenados são esse ponto (exceto com
, onde não há interseção), podemos fazer um esboço simples:
- Imagine o sistema de coordenadas 3D.
- Marque o ponto
no eixo . - Como a quádrica é apenas esse ponto, não há mais nada para desenhar ao redor.
Resposta
A quádrica dada é um ponto localizado em
. Suas interseções com os planos coordenados
e
são esse mesmo ponto, e não há interseção com o plano
. O esboço da quádrica é simplesmente o ponto
no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Considere as quádricas abaixo.
. Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
c)
c)
Ao girarmos a curva
em torno do eixo
obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.