Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com quádricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis (x, y e z). O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Identificar a quádrica apresentada.
  2. Determinar onde ela intercepta os planos coordenados , e .
  3. Fazer um esboço dessa quádrica para entender melhor como ela se parece.
O exercício que vamos resolver é a equação:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a quádrica da equação dada:
Essa é uma equação que se parece muito com a de uma esfera, que geralmente tem a forma:
Onde é o centro e é o raio. No nosso caso, parece que temos uma esfera com centro em e raio zero. Isso significa que a quádrica é, na verdade, um ponto no espaço.

Passo 3

Agora, vamos determinar a interseção dessa quádrica com o plano . Para isso, fixamos na equação:
A soma de quadrados só dá zero quando cada termo individual é zero. Então:
Ou seja, e . Portanto, a interseção com o plano é o ponto .

Passo 4

Vamos agora ver a interseção com o plano . Fixamos na equação:
Novamente, a soma de quadrados dá zero apenas se cada termo for zero:
Portanto, e . A interseção com o plano também é o ponto .

Passo 5

Por último, vamos determinar a interseção com o plano . Fixamos na equação:
Aqui, temos um problema porque (algum número positivo ou zero) nunca será zero. Ou seja, não há nenhum ponto de interseção com o plano .

Passo 6

Agora que já sabemos que a quádrica é um ponto e que suas únicas interseções com os planos coordenados são esse ponto (exceto com , onde não há interseção), podemos fazer um esboço simples:
  • Imagine o sistema de coordenadas 3D.
  • Marque o ponto no eixo .
  • Como a quádrica é apenas esse ponto, não há mais nada para desenhar ao redor.

Resposta

A quádrica dada é um ponto localizado em . Suas interseções com os planos coordenados e são esse mesmo ponto, e não há interseção com o plano . O esboço da quádrica é simplesmente o ponto no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Considere as quádricas abaixo. . Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.
Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
c)
Ao girarmos a curva em torno do eixo obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.