Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar qual tipo de superfície está representada pela equação e reescrevê-la na **forma canônica**. Isso está relacionado ao estudo das **superfícies quadricas** na matemática. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.
**Para :**
Fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , ou seja, , e elevamos ao quadrado, obtendo . Assim:
**Para :**
Fatoramos o coeficiente de :
Metade do coeficiente de é , e ao quadrado fica . Então:
**Para :**
A equação já tem , que pode ser escrita como:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos isolar os termos com as variáveis no lado esquerdo:
Agora, dividimos todos os termos por 36 para simplificar:
Resposta
A superfície é um **elipsoide** cuja forma canônica é:
Exercícios relacionados
Considere as quádricas abaixo. . Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
c)