Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: 9 x^2+4 y^2+36 z^2-36 x+8 y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar qual tipo de superfície está representada pela equação e reescrevê-la na forma canônica. Isso está relacionado ao estudo das superfícies quadricas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
9x^2 - 36x + 4y^2 + 8y + 36z^2 + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.
Para 9(x^2 - 4x) :
Fatoramos o coeficiente de 9(x^2 - 4x + 4 - 4) = 9((x - 2)^2 - 4) = 9(x - 2)^2 - 36 :
4(y^2 + 2y)
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de 4(y^2 + 2y + 1 - 1) = 4((y + 1)^2 - 1) = 4(y + 1)^2 - 4 , que é 36z^2 = 36(z - 0)^2 , ou seja, , e elevamos ao quadrado, obtendo . Assim:
Para :
Fatoramos o coeficiente de :
Metade do coeficiente de é , e ao quadrado fica . Então:
Para :
A equação já tem , que pode ser escrita como:

Passo 4

Substituindo tudo de volta na equação original:
9(x - 2)^2 - 36 + 4(y + 1)^2 - 4 + 36(z)^2 + 4 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
-36 - 4 + 4 = -36
Então, a equação fica:
9(x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 + 36z^2 - 36 = 0

Passo 5

Vamos isolar os termos com as variáveis no lado esquerdo:
9(x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 + 36z^2 = 36
Agora, dividimos todos os termos por 36 para simplificar:
(x - 2)^24 + (y + 1)^29 + z^21 = 1

Resposta

A superfície é um elipsoide cuja forma canônica é:
(x - 2)^24 + (y + 1)^29 + z^2 = 1

Exercícios relacionados