Considere as quádricas abaixo. z^2-x^2-y^24=1. Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos x y, x z, y z, z=2 e z=-2 ? Escreva suas equaçōes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a quádrica e pede para encontrar as curvas resultantes das interseções dessa quádrica com os planos , , , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, especialmente sobre como intersectar superfícies e planos para encontrar curvas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma quádrica. Ela é uma superfície no espaço tridimensional definida por uma equação de segundo grau nas coordenadas , e . No nosso caso, a equação é . Essa equação representa um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Agora, para encontrar as curvas de interseção com diferentes planos, vamos substituir as equações dos planos na equação da quádrica e resolver para obter a equação da curva resultante.

Passo 4

Interseção com o plano 0^2 - x^2 - y^24 = 1 Rightarrow -x^2 - y^24 = 1 :
O plano x^2 + y^24 = -1 tem a equação . Vamos substituir na quádrica:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Essa equação não tem solução real, porque a soma de quadrados não pode ser negativa. Então, não há interseção entre a quádrica e o plano .

Passo 5

Interseção com o plano z^2 - x^2 - 0^24 = 1 Rightarrow z^2 - x^2 = 1 :
O plano tem a equação . Vamos substituir na quádrica:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .

Passo 6

Interseção com o plano z^2 - 0^2 - y^24 = 1 Rightarrow z^2 - y^24 = 1 :
O plano tem a equação . Vamos substituir na quádrica:
Essa também é a equação de uma hipérbole, porém no plano .

Passo 7

Interseção com o plano 2^2 - x^2 - y^24 = 1 Rightarrow 4 - x^2 - y^24 = 1 :
Vamos substituir x^2 + y^24 = 3 na quádrica:
Rearranjando:
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Passo 8

Interseção com o plano (-2)^2 - x^2 - y^24 = 1 Rightarrow 4 - x^2 - y^24 = 1 :
Agora, substituímos x^2 + y^24 = 3 na quádrica:
Rearranjando novamente:
Como antes, essa é a equação de uma elipse, mas no plano .

Resposta

As curvas formadas nas interseções são:
  • Plano : Não há interseção real.
  • Plano : (hipérbole).
  • Plano : (hipérbole).
  • Plano : (elipse).
  • Plano : (elipse).

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