Considere as quádricas abaixo.
. Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a quádrica
e pede para encontrar as curvas resultantes das interseções dessa quádrica com os planos
,
,
,
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, especialmente sobre como intersectar superfícies e planos para encontrar curvas resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma quádrica. Ela é uma superfície no espaço tridimensional definida por uma equação de segundo grau nas coordenadas
,
e
. No nosso caso, a equação é
. Essa equação representa um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Agora, para encontrar as curvas de interseção com diferentes planos, vamos substituir as equações dos planos na equação da quádrica e resolver para obter a equação da curva resultante.
Passo 4
Interseção com o plano
:
O plano tem a equação
. Vamos substituir
na quádrica:
O plano
Multiplicando ambos os lados por -1:
Essa equação não tem solução real, porque a soma de quadrados não pode ser negativa. Então, não há interseção entre a quádrica e o plano
.
Passo 5
Interseção com o plano
:
O plano tem a equação
. Vamos substituir
na quádrica:
O plano
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
.
Passo 6
Interseção com o plano
:
O plano tem a equação
. Vamos substituir
na quádrica:
O plano
Essa também é a equação de uma hipérbole, porém no plano
.
Passo 7
Interseção com o plano
:
Vamos substituir na quádrica:
Vamos substituir
Rearranjando:
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Passo 8
Interseção com o plano
:
Agora, substituímos na quádrica:
Agora, substituímos
Rearranjando novamente:
Como antes, essa é a equação de uma elipse, mas no plano
.
Resposta
As curvas formadas nas interseções são:
- Plano
: Não há interseção real. - Plano
: (hipérbole). - Plano
: (hipérbole). - Plano
: (elipse). - Plano
: (elipse).
Exercícios relacionados
Determine a distância do ponto
à reta
, onde:
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e
, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
(iii) Faça um esboço da quádrica.