Ao girarmos a curva em torno do eixo obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber que tipo de superfície a gente obtém quando gira a curva em torno do eixo . Isso tá relacionado com as gráficas das cônicas e das quadricas. Pra resolver, a gente precisa entender como a rotação de uma hipérbole ao redor de um eixo gera uma superfície 3D.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação dada representa uma hipérbole no plano . Agora, quando a gente gira essa hipérbole em torno do eixo , estamos adicionando a dimensão . Então, substituímos por na equação original para considerar a rotação.

Passo 3

Fazendo essa substituição, a equação fica:
Essa é a equação de uma quadrica no espaço tridimensional. Agora, vamos identificar qual tipo de quadrica é essa.

Passo 4

Lembrando das formas padrão, a equação corresponde a um hiperbolóide de uma folha. Isso porque temos um sinal positivo para e sinais negativos para e , indicando que a superfície se estende indefinidamente em uma direção, formando uma única “folha”.

Resposta

A superfície obtida é um hiperbolóide de 1 folha. Portanto, a opção correta é a letra (a).

Exercícios relacionados

Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
c)
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
a)