Ao girarmos a curva
em torno do eixo
obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber que tipo de superfície a gente obtém quando gira a curva
em torno do eixo
. Isso tá relacionado com as gráficas das cônicas e das quadricas. Pra resolver, a gente precisa entender como a rotação de uma hipérbole ao redor de um eixo gera uma superfície 3D.
Passo 2
Primeiro, observe que a equação dada
representa uma hipérbole no plano
. Agora, quando a gente gira essa hipérbole em torno do eixo
, estamos adicionando a dimensão
. Então, substituímos
por
na equação original para considerar a rotação.
Passo 3
Fazendo essa substituição, a equação fica:
Essa é a equação de uma quadrica no espaço tridimensional. Agora, vamos identificar qual tipo de quadrica é essa.
Passo 4
Lembrando das formas padrão, a equação
corresponde a um hiperbolóide de uma folha. Isso porque temos um sinal positivo para
e sinais negativos para
e
, indicando que a superfície se estende indefinidamente em uma direção, formando uma única “folha”.
Resposta
A superfície obtida é um hiperbolóide de 1 folha. Portanto, a opção correta é a letra (a).
Exercícios relacionados
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
c)
c)
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e
, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
a)
a)