Para cada equação a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecção com os planos coordenados x y, x z e y z, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
b) x^216+y^24+z^28=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a equação da quadric, que é uma superfície de segundo grau. Para isso, vamos identificar que tipo de quadric é essa, descobrir como ela intercepta os planos coordenados xy, xz e yz, e por fim, fazer um esboço dela. A equação que vamos trabalhar é:
x^216 + y^24 + z^28 = 1

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de quadric estamos lidando. A equação geral de uma quadric com todos os termos quadráticos positivos e iguais a 1 no lado direito é uma elipsoide. No nosso caso, os denominadores são diferentes, então essa quadric específica é uma elipsoide alongada nos eixos correspondentes aos denominadores.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os planos coordenados. Isso significa substituir uma das variáveis por zero e resolver a equação resultante, o que nos dará as seções da quadric nesses planos.
Interseção com o plano xy:
Para encontrar a interseção com o plano xy, colocamos z = 0 na equação:
x^216 + y^24 + 0^28 = 1 x^216 + y^24 = 1
Essa é a equação de uma elipse no plano xy.
Interseção com o plano xz:
Agora, para o plano xz, colocamos y = 0:
x^216 + 0^24 + z^28 = 1 x^216 + z^28 = 1
Essa também é uma elipse, mas no plano xz.
Interseção com o plano yz:
Finalmente, para o plano yz, colocamos x = 0:
0^216 + y^24 + z^28 = 1 y^24 + z^28 = 1
Mais uma vez, temos uma elipse no plano yz.

Passo 4

Com as interseções encontradas, podemos esboçar a elipsoide. Sabendo que todas as seções nos planos coordenados são elipses, a elipsoide será uma superfície oval tridimensional. Os comprimentos dos eixos da elipse em cada plano nos indicam a “largura” e “altura” da elipsoide nesses planos, ajudando a desenhar a forma geral.

Resposta

A equação x^216+y^24+z^28=1 representa uma elipsoide. Ela intercepta o plano xy na elipse x^216 + y^24 = 1, o plano xz na elipse x^216 + z^28 = 1, e o plano yz na elipse y^24 + z^28 = 1. O esboço da quadric será uma elipsoide tridimensional com os eixos definidos pelas interseções elípticas nos planos coordenados.

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