Para cada equação a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecção com os planos coordenados
e
, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
b)
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecção com os planos coordenados
(iii) Faça um esboço da quádrica.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a equação da quadric, que é uma superfície de segundo grau. Para isso, vamos identificar que tipo de quadric é essa, descobrir como ela intercepta os planos coordenados
,
e
, e por fim, fazer um esboço dela. A equação que vamos trabalhar é:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de quadric estamos lidando. A equação geral de uma quadric com todos os termos quadráticos positivos e iguais a 1 no lado direito é uma elipsoide. No nosso caso, os denominadores são diferentes, então essa quadric específica é uma elipsoide alongada nos eixos correspondentes aos denominadores.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os planos coordenados. Isso significa substituir uma das variáveis por zero e resolver a equação resultante, o que nos dará as seções da quadric nesses planos.
Interseção com o plano
:
Para encontrar a interseção com o plano , colocamos
na equação:
Para encontrar a interseção com o plano
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Interseção com o plano
:
Agora, para o plano , colocamos
:
Agora, para o plano
Essa também é uma elipse, mas no plano
.
Interseção com o plano
:
Finalmente, para o plano , colocamos
:
Finalmente, para o plano
Mais uma vez, temos uma elipse no plano
.
Passo 4
Com as interseções encontradas, podemos esboçar a elipsoide. Sabendo que todas as seções nos planos coordenados são elipses, a elipsoide será uma superfície oval tridimensional. Os comprimentos dos eixos da elipse em cada plano nos indicam a “largura” e “altura” da elipsoide nesses planos, ajudando a desenhar a forma geral.
Resposta
A equação
representa uma elipsoide. Ela intercepta o plano
na elipse
, o plano
na elipse
, e o plano
na elipse
. O esboço da quadric será uma elipsoide tridimensional com os eixos definidos pelas interseções elípticas nos planos coordenados.