Sejam e w=A B vetores representados pelos lados adjacentes do paralelogramo A B D C. Mostre que o quadrado da altura relativa ao lado A C é
|w-proju w|^2=|w|^2-(u cdot w)^2|u|^2
Usando essa expressão, verifique que
Area(A B D C)=raiz|u|^2|w|^2-(u cdot w)^2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo onde temos dois vetores e que representam os lados adjacentes. A gente precisa mostrar duas coisas:
O quadrado da altura relativa ao lado é igual a .
Usando essa expressão, verificar que a área do paralelogramo é .
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada conceito para ficar bem fácil de entender!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor em outro. A projeção de proju w = ( u cdot w|u|^2 ) u em , escrita como , é a parte de que aponta na direção de . A fórmula para isso é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é a norma (ou comprimento) de .
Passo 3
Agora, vamos considerar a diferença entre o vetor w - proju w e a sua projeção em :
Essa diferença representa o componente de que é perpendicular a , ou seja, a altura relativa a no paralelogramo.
Passo 4
Vamos calcular o quadrado da norma dessa diferença:
| w - proju w |^2
Substituindo a expressão da projeção que vimos antes:
| w - ( u cdot w|u|^2 ) u |^2
Passo 5
Expandindo o quadrado da norma, temos:
| w |^2 - 2 ( u cdot w|u|^2 ) (u cdot w) + ( u cdot w|u|^2 )^2 |u|^2
Simplificando cada termo:
| w |^2 - 2 (u cdot w)^2|u|^2 + (u cdot w)^2|u|^2 = | w |^2 - (u cdot w)^2|u|^2 permanece o mesmo.
O segundo termo fica .
O terceiro termo simplifica para .
Então, juntando tudo:
Passo 6
Pronto! Assim, mostramos que:
| w - proju w |^2 = |w|^2 - (u cdot w)^2|u|^2
Isso confirma a primeira parte do enunciado.
Passo 7
Agora, vamos usar essa expressão para encontrar a área do paralelogramo Area(ABDC) = |u| times a. A área de um paralelogramo pode ser calculada como o produto do comprimento de um lado pela altura relativa a ele. Aqui, vamos usar Area(ABDC) = |u| times raiz |w|^2 - (u cdot w)^2|u|^2 como o lado base.
Então, a área é:
A altura relativa a é . Portanto:
Passo 8
Simplificando a expressão dentro da raiz:
|u| times raiz |w|^2 - (u cdot w)^2|u|^2 = raiz |u|^2 times |w|^2 - (u cdot w)^2
Isso porque:
|u| times raiz |w|^2 - (u cdot w)^2|u|^2 = raiz |u|^2 ( |w|^2 - (u cdot w)^2|u|^2 ) = raiz |u|^2 |w|^2 - (u cdot w)^2
Resposta
Portanto, a área do paralelogramo Area(ABDC) = raiz |u|^2|w|^2 - (u cdot w)^2 é: