Determine o valor de n para que seja de 60^circ o ângulo entre as retas r:lx=t y=5+n t z=-2+2 t e s: x-24=y+45=z3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de tal que o ângulo entre as retas e seja de . Para isso, vamos trabalhar com vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: l x = t y = 5 + nt z = -2 + 2t e s: x-24 = y+45 = z3 .
A reta é dada por:
O vetor diretor de é .
A reta é dada por:
O vetor diretor de é .

Passo 3

A fórmula para o ângulo cos theta = u cdot v|u| cdot |v| entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (ou normas) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = 1 cdot 4 + n cdot 5 + 2 cdot 3 = 4 + 5n + 6 = 10 + 5n :

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|u| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5
|v| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2

Passo 6

Substituindo na fórmula do ângulo:
cos 60^circ = 10 + 5nraizn^2 + 5 cdot 5raiz2
Sabemos que 12 = 10 + 5n5raiz2 cdot raizn^2 + 5 , então:

Passo 7

Simplificando a equação:
12 = 10 + 5n5raiz2 cdot raizn^2 + 5 implies 12 = 2(10 + 5n)10raiz2 cdot raizn^2 + 5
Multiplicando ambos os lados por 5raiz2 cdot raizn^2 + 52 = 10 + 5n :

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2:
5raiz2 cdot raizn^2 + 5 = 20 + 10n
Dividindo por 5:
raizn^2 + 5 = 4/raiz2 + 2n/raiz2 = 2raiz2 + raiz2n

Passo 9

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
n^2 + 5 = (2raiz2 + raiz2n)^2 = 8 + 8n + 2n^2
Reorganizando os termos:
n^2 + 5 = 2n^2 + 8n + 8 implies 0 = n^2 + 8n + 3

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática n = -8 pm raiz64 - 122 = -8 pm raiz522 = -8 pm 2raiz132 = -4 pm raiz13 usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de n = -4 + raiz13 ou n = -4 - raiz13 são:

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