Sejam os pontos e pontos médios dos lados de um triângulo . Calcule a área do triângulo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos , e , que são os pontos médios dos lados de um triângulo . Nosso objetivo é calcular a área desse triângulo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre triângulos e como a área deles se relaciona com os pontos médios dos lados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos médios de um triângulo formam um triângulo menor, chamado de triângulo mediano ou triângulo de pontos médios. A área desse triângulo mediano é sempre um quarto da área do triângulo original. Então, se conseguirmos calcular a área do triângulo formado por , e , basta multiplicar esse valor por 4 para encontrar a área de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do triângulo . Para isso, podemos usar o produto vetorial, que nos dá a área de um paralelogramo formado por dois vetores. Como o triângulo é a metade desse paralelogramo, dividimos o resultado por 2.
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
= i(0) - j(4) + k(-2) = (0, -4, -2)
Passo 5
Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor para obter a área do paralelogramo: