Sejam os pontos P=(1,1,2), Q= (1,2,0) e R=(3,1,2) pontos médios dos lados de um triângulo triang<= A B C. Calcule a área do triângulo triang<= A B C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos P=(1,1,2), Q=(1,2,0) e R=(3,1,2), que são os pontos médios dos lados de um triângulo triang<= ABC. Nosso objetivo é calcular a área desse triângulo triang<= ABC. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre triângulos e como a área deles se relaciona com os pontos médios dos lados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos médios de um triângulo formam um triângulo menor, chamado de triângulo mediano ou triângulo de pontos médios. A área desse triângulo mediano é sempre um quarto da área do triângulo original. Então, se conseguirmos calcular a área do triângulo formado por P, Q e R, basta multiplicar esse valor por 4 para encontrar a área de triang<= ABC.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do triângulo triang<= PQR. Para isso, podemos usar o produto vetorial, que nos dá a área de um paralelogramo formado por dois vetores. Como o triângulo é a metade desse paralelogramo, dividimos o resultado por 2.
Primeiro, vamos encontrar os vetores PQ e PR:
PQ = Q - P = (1-1, 2-1, 0-2) = (0, 1, -2)
PR = R - P = (3-1, 1-1, 2-2) = (2, 0, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial PQ times PR:
PQ times PR = i & j & k 0 & 1 & -2 2 & 0 & 0 = i(1 cdot 0 - (-2) cdot 0) - j(0 cdot 0 - (-2) cdot 2) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 2)
= i(0) - j(4) + k(-2) = (0, -4, -2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor para obter a área do paralelogramo:
|PQ times PR| = raiz0^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 16 + 4 = raiz20 = 2raiz5
Como a área do triângulo triang<= PQR é metade dessa área:
Área de triang<= PQR = 12 times 2raiz5 = raiz5 Á

Passo 6

Lembrando que a área do triângulo mediano é um quarto da área do triângulo original, multiplicamos por 4:
Área de triang<= ABC = 4 times raiz5 = 4raiz5 Á

Resposta

A área do triângulo triang<= ABC é igual a 4raiz5 unidades de área.

Exercícios relacionados