Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(b)

Passo 1

Então, temos a equação e queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso faz parte do estudo de derivadas implícitas, onde é uma função de definida de forma implícita pela equação dada. Para resolver, vamos usar a regra da derivada e aplicar derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então ao derivar termos com , precisamos usar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela .

Passo 3

Derivando em relação a :

Passo 4

Derivando em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, derivando e separadamente.

Passo 5

Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Seja a função definida em por .
© Esboce os gráficos de e de .
Se é a função definida por , encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto de abscissa .
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(f)
3
Suponha que seja uma função derivável em . Se , verifique que
4
Suponha que seja uma função derivável até a segunda ordem. Se , verifique que
5
Sejam e funções deriváveis, tais que e .
Encontre as retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa .
6
Se , calcule , sabendo que e que .
7
Suponha que a equação
defina como função de em torno do ponto . Calcule .
8
Se é um número natural, qual é
a derivada de ordem da função ?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência , no ponto .
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole e .
11
Suponha que seja uma função derivável em seu domínio e que, para todo em , satisfaça . Se , mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [
(b) Repita o exercício precedente, considerando agora .