Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(b)
(b)
Passo 1
Então, temos a equação
e queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso faz parte do estudo de derivadas implícitas, onde
é uma função de
definida de forma implícita pela equação dada. Para resolver, vamos usar a regra da derivada e aplicar derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então ao derivar termos com
, precisamos usar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela
.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Aqui usamos a regra do produto, derivando
e
separadamente.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:
Passo 7
Vamos isolar os termos que contêm
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
a função definida em
por
.
© Esboce os gráficos de e de
.
© Esboce os gráficos de
Se
é a função definida por
, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto de abscissa
.
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(f)
3
Suponha que seja uma função derivável em
. Se
, verifique que
(f)
3
Suponha que
4
Suponha que seja uma função derivável até a segunda ordem. Se
, verifique que
Suponha que
5
Sejam e
funções deriváveis, tais que
e
.
Encontre as retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa
.
6
Se , calcule
, sabendo que
e que
.
7
Suponha que a equação
Sejam
Encontre as retas tangente e normal à curva
6
Se
7
Suponha que a equação
defina
como função de
em torno do ponto
. Calcule
.
8
Se é um número natural, qual é
a derivada de ordem da função
?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência , no ponto
.
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole e
.
11
Suponha que seja uma função derivável em seu domínio
e que, para todo
em
, satisfaça
. Se
, mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [
8
Se
a derivada de ordem
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole
11
Suponha que
(b) Repita o exercício precedente, considerando agora
.