Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre d/y d/x.
(b) y^3 + 2xy = raiz(x)

Passo 1

Então, temos a equação e queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso faz parte do estudo de derivadas implícitas, onde é uma função de definida de forma implícita pela equação dada. Para resolver, vamos usar a regra da derivada e aplicar derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então ao derivar termos com , precisamos usar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela .

Passo 3

Derivando em relação a :

Passo 4

Derivando em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, derivando e separadamente.

Passo 5

Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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