Se
é a função definida por
, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico dessa função no ponto onde a abscissa
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e usar essas derivadas para achar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o valor de
. Isso é importante para saber onde está o ponto no gráfico.
Para
:
Para
:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada
da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
.
Para
:
A derivada de
é:
Para
:
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da derivada à medida que
se aproxima de 2.
Para
se aproximando de 2 pela direita (
):
À medida que
se aproxima de 2,
tende a 0, então
tende ao
.
Para
se aproximando de 2 pela esquerda (
):
À medida que
se aproxima de 2,
tende a 0, então
tende ao
.
Passo 5
Como as derivadas laterais não são iguais (uma tende a
e a outra a
), isso significa que a derivada
não existe. Ou seja, a função tem um ponto de canto ou cuspo em
.
Passo 6
Mesmo assim, podemos observar que a inclinação da reta tangente nesse ponto é infinita, o que significa que a reta tangente é uma linha vertical. Portanto, a equação da reta tangente é:
Passo 7
Para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos considerar que a reta tangente é vertical, então a reta normal será horizontal. A equação de uma reta horizontal que passa pelo ponto
é:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
e a reta normal é
.
Exercícios relacionados
Verifique que a reta tangente ao gráfico da função
, no ponto de abscissa
, intercepta o eixo
no ponto
.
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(a)
(a)
Seja
a função definida em
por
.
© Esboce os gráficos de e de
.
© Esboce os gráficos de
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(b)
(b)