Se é a função definida por , encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto de abscissa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico dessa função no ponto onde a abscissa . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e usar essas derivadas para achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor de . Isso é importante para saber onde está o ponto no gráfico.
Para :
Para :
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto .
Para :
A derivada de é:
Para :
A derivada de é:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da derivada à medida que se aproxima de 2.
Para se aproximando de 2 pela direita ( ):
À medida que se aproxima de 2, tende a 0, então tende ao .
Para se aproximando de 2 pela esquerda ( ):
À medida que se aproxima de 2, tende a 0, então tende ao .

Passo 5

Como as derivadas laterais não são iguais (uma tende a e a outra a ), isso significa que a derivada não existe. Ou seja, a função tem um ponto de canto ou cuspo em .

Passo 6

Mesmo assim, podemos observar que a inclinação da reta tangente nesse ponto é infinita, o que significa que a reta tangente é uma linha vertical. Portanto, a equação da reta tangente é:

Passo 7

Para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos considerar que a reta tangente é vertical, então a reta normal será horizontal. A equação de uma reta horizontal que passa pelo ponto é:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

Exercícios relacionados

Verifique que a reta tangente ao gráfico da função , no ponto de abscissa , intercepta o eixo no ponto .
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(a)
Seja a função definida em por .
© Esboce os gráficos de e de .
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(b)