Se y = f(x) é a função definida por y = { raiz(x - 2), se x >= 2; -raiz(2 - x), se x <= 2 }, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f, no ponto de abscissa x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico dessa função no ponto onde a abscissa . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e usar essas derivadas para achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor de . Isso é importante para saber onde está o ponto no gráfico.
Para :
Para :
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto .
Para :
A derivada de é:
Para :
A derivada de é:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da derivada à medida que se aproxima de 2.
Para se aproximando de 2 pela direita ( ):
À medida que se aproxima de 2, tende a 0, então tende ao .
Para se aproximando de 2 pela esquerda ( ):
À medida que se aproxima de 2, tende a 0, então tende ao .

Passo 5

Como as derivadas laterais não são iguais (uma tende a e a outra a ), isso significa que a derivada não existe. Ou seja, a função tem um ponto de canto ou cuspo em .

Passo 6

Mesmo assim, podemos observar que a inclinação da reta tangente nesse ponto é infinita, o que significa que a reta tangente é uma linha vertical. Portanto, a equação da reta tangente é:

Passo 7

Para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos considerar que a reta tangente é vertical, então a reta normal será horizontal. A equação de uma reta horizontal que passa pelo ponto é:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

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