Seja a função definida em por .
© Esboce os gráficos de e de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais. O objetivo é desenhar os gráficos dessa função e de sua derivada . Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e analisar o comportamento das duas funções para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Para facilitar, vamos reescrever de uma forma mais simples:
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Derivando para :
Derivando para :
Portanto, a derivada fica:

Passo 4

Agora que temos e , vamos esboçar os gráficos.
Gráfico de :
  • Para , , que é uma parábola voltada para cima.
  • Para , , que é uma parábola voltada para baixo.
  • O ponto de encontro é em , onde .
Gráfico de :
  • Para , , que é uma reta com inclinação positiva.
  • Para , , que também é uma reta com inclinação positiva.
  • O ponto de encontro é em , onde .

Resposta

Os gráficos de e de sua derivada são formados por parábolas e retas, respectivamente:
  • : Para , o gráfico é uma parábola aberta para cima ( ); para , é uma parábola aberta para baixo ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0).
  • : Para , o gráfico é uma reta com inclinação positiva ( ); para , também é uma reta com inclinação positiva ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0).

Exercícios relacionados

Se é a função definida por , encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto de abscissa .
Verifique que a reta tangente ao gráfico da função , no ponto de abscissa , intercepta o eixo no ponto .
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(b)
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(f)
3
Suponha que seja uma função derivável em . Se , verifique que
4
Suponha que seja uma função derivável até a segunda ordem. Se , verifique que
5
Sejam e funções deriváveis, tais que e .
Encontre as retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa .
6
Se , calcule , sabendo que e que .
7
Suponha que a equação
defina como função de em torno do ponto . Calcule .
8
Se é um número natural, qual é
a derivada de ordem da função ?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência , no ponto .
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole e .
11
Suponha que seja uma função derivável em seu domínio e que, para todo em , satisfaça . Se , mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [