Seja f a função definida em R por f(x) = x |x|.
© Esboce os gráficos de f e de f'.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais. O objetivo é desenhar os gráficos dessa função e de sua derivada . Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e analisar o comportamento das duas funções para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Para facilitar, vamos reescrever de uma forma mais simples:
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Derivando para :
Derivando para :
Portanto, a derivada fica:

Passo 4

Agora que temos e , vamos esboçar os gráficos.
Gráfico de :
  • Para , , que é uma parábola voltada para cima.
  • Para , , que é uma parábola voltada para baixo.
  • O ponto de encontro é em , onde .
Gráfico de :
  • Para , , que é uma reta com inclinação positiva.
  • Para , , que também é uma reta com inclinação positiva.
  • O ponto de encontro é em , onde .

Resposta

Os gráficos de e de sua derivada são formados por parábolas e retas, respectivamente:
  • : Para , o gráfico é uma parábola aberta para cima ( ); para , é uma parábola aberta para baixo ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0).
  • : Para , o gráfico é uma reta com inclinação positiva ( ); para , também é uma reta com inclinação positiva ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0).

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