Seja
a função definida em
por
.
© Esboce os gráficos de
e de
.
© Esboce os gráficos de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais. O objetivo é desenhar os gráficos dessa função e de sua derivada
. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
e analisar o comportamento das duas funções para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Para facilitar, vamos reescrever
de uma forma mais simples:
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 3
Derivando
para
:
Derivando
para
:
Portanto, a derivada
fica:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos esboçar os gráficos.
Gráfico de
:
- Para
, , que é uma parábola voltada para cima. - Para
, , que é uma parábola voltada para baixo. - O ponto de encontro é em
, onde .
Gráfico de
:
- Para
, , que é uma reta com inclinação positiva. - Para
, , que também é uma reta com inclinação positiva. - O ponto de encontro é em
, onde .
Resposta
Os gráficos de
e de sua derivada
são formados por parábolas e retas, respectivamente:
-
: Para , o gráfico é uma parábola aberta para cima ( ); para , é uma parábola aberta para baixo ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0). -
: Para , o gráfico é uma reta com inclinação positiva ( ); para , também é uma reta com inclinação positiva ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0).