Seja
a função definida em
por
.
© Esboce os gráficos de
e de
.
© Esboce os gráficos de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais. O objetivo é desenhar os gráficos dessa função e de sua derivada
. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
e analisar o comportamento das duas funções para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Para facilitar, vamos reescrever
de uma forma mais simples:
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 3
Derivando
para
:
Derivando
para
:
Portanto, a derivada
fica:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos esboçar os gráficos.
Gráfico de
:
- Para
, , que é uma parábola voltada para cima. - Para
, , que é uma parábola voltada para baixo. - O ponto de encontro é em
, onde .
Gráfico de
:
- Para
, , que é uma reta com inclinação positiva. - Para
, , que também é uma reta com inclinação positiva. - O ponto de encontro é em
, onde .
Resposta
Os gráficos de
e de sua derivada
são formados por parábolas e retas, respectivamente:
-
: Para , o gráfico é uma parábola aberta para cima ( ); para , é uma parábola aberta para baixo ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0). -
: Para , o gráfico é uma reta com inclinação positiva ( ); para , também é uma reta com inclinação positiva ( ). Ambas se encontram no ponto (0,0).
Exercícios relacionados
Se
é a função definida por
, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto de abscissa
.
Verifique que a reta tangente ao gráfico da função
, no ponto de abscissa
, intercepta o eixo
no ponto
.
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(b)
(b)
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(f)
3
Suponha que seja uma função derivável em
. Se
, verifique que
(f)
3
Suponha que
4
Suponha que seja uma função derivável até a segunda ordem. Se
, verifique que
Suponha que
5
Sejam e
funções deriváveis, tais que
e
.
Encontre as retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa
.
6
Se , calcule
, sabendo que
e que
.
7
Suponha que a equação
Sejam
Encontre as retas tangente e normal à curva
6
Se
7
Suponha que a equação
defina
como função de
em torno do ponto
. Calcule
.
8
Se é um número natural, qual é
a derivada de ordem da função
?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência , no ponto
.
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole e
.
11
Suponha que seja uma função derivável em seu domínio
e que, para todo
em
, satisfaça
. Se
, mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [
8
Se
a derivada de ordem
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole
11
Suponha que