Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(f)
3
Suponha que
seja uma função derivável em
. Se
, verifique que
4
Suponha que
seja uma função derivável até a segunda ordem. Se
, verifique que
5
Sejam
e
funções deriváveis, tais que
e
.
Encontre as retas tangente e normal à curva
, no ponto de abscissa
.
6
Se
, calcule
, sabendo que
e que
.
7
Suponha que a equação
defina
como função de
em torno do ponto
. Calcule
.
8
Se
é um número natural, qual é
a derivada de ordem
da função
?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência
, no ponto
.
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole
e
.
11
Suponha que
seja uma função derivável em seu domínio
e que, para todo
em
, satisfaça
. Se
, mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [
(f)
3
Suponha que
Suponha que
Sejam
Encontre as retas tangente e normal à curva
6
Se
7
Suponha que a equação
8
Se
a derivada de ordem
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole
11
Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma equação que relaciona
e
de forma implícita:
. O objetivo é encontrar a derivada
. Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que é uma técnica para derivar equações onde
está relacionada a
de maneira não explícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo mais claro:
Queremos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo
. Lembre-se que
. Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos
usando a regra do produto:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
:
Então, a derivada do lado direito é:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver para
.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Vamos isolar os termos que têm
:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar ainda mais, se necessário, mas essa é a expressão geral da derivada.
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
(b)
(b)
Seja
a função definida em
por
.
© Esboce os gráficos de e de
.
© Esboce os gráficos de
(b) Repita o exercício precedente, considerando agora
.
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
como função de
. Encontre
.
©
©