Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre d/y d/x.
(f) raiz(xy) = 1 + x^2y
3
Suponha que x = x(t) seja uma função derivável em R. Se y = 1/(x^2 + 1), verifique que
dy/dt = -2xy^2 * dx/dt, para todo t pertencente a R
4
Suponha que x = x(t) seja uma função derivável até a segunda ordem. Se y = x^3, verifique que
d^2y/dt^2 = 6x (dx/dt)^2 + 3x^2 d^2x/dt^2
5
Sejam f e g funções deriváveis, tais que g(-1)=2, f(2)=-3, g'(-1)=-1/3 e f'(2) = 6.
Encontre as retas tangente e normal à curva y = f(g(x)), no ponto de abscissa x = -1.
6
Se h(x) = [f(x)]^3 + f(x^3), calcule h'(2), sabendo que f(2)=1, f'(2)=7 e que f'(8) = -3.
7
Suponha que a equação
y / (x - y) - x / y + raiz(x) = 0
defina y como função de x em torno do ponto x = 1. Calcule y'(1).
8
Se n é um número natural, qual é
a derivada de ordem n da função y = (a x + b)^n ?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência x^2 + y^2 = 25, no ponto P0 = (3, 4).
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole x^2/16 - y^2/9 = 1 e P0 = (-5,9 / 4).
11
Suponha que f seja uma função derivável em seu domínio D e que, para todo x em D, satisfaça x f(x) + sen(f(x)) = 4. Se x + cos(f(x)) != 0, mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma equação que relaciona e de forma implícita: . O objetivo é encontrar a derivada . Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que é uma técnica para derivar equações onde está relacionada a de maneira não explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo mais claro:
Queremos derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo . Lembre-se que . Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos usando a regra do produto:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito :
Então, a derivada do lado direito é:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver para .

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando a expressão:

Passo 7

Vamos isolar os termos que têm :
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar ainda mais, se necessário, mas essa é a expressão geral da derivada.

Resposta

A derivada é dada por:

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