Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(f)
3
Suponha que seja uma função derivável em . Se , verifique que
4
Suponha que seja uma função derivável até a segunda ordem. Se , verifique que
5
Sejam e funções deriváveis, tais que e .
Encontre as retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa .
6
Se , calcule , sabendo que e que .
7
Suponha que a equação
defina como função de em torno do ponto . Calcule .
8
Se é um número natural, qual é
a derivada de ordem da função ?
9
Determine as retas tangente e normal à circunferência , no ponto .
10
Mesma questão precedente, considerando agora a hipérbole e .
11
Suponha que seja uma função derivável em seu domínio e que, para todo em , satisfaça . Se , mostre que $f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma equação que relaciona e de forma implícita: . O objetivo é encontrar a derivada . Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que é uma técnica para derivar equações onde está relacionada a de maneira não explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo mais claro:
Queremos derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo . Lembre-se que . Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos usando a regra do produto:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito :
Então, a derivada do lado direito é:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver para .

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando a expressão:

Passo 7

Vamos isolar os termos que têm :
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar ainda mais, se necessário, mas essa é a expressão geral da derivada.

Resposta

A derivada é dada por:

Exercícios relacionados

Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(b)
Seja a função definida em por .
© Esboce os gráficos de e de .
(b) Repita o exercício precedente, considerando agora .
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
©