Para cada uma das equações abaixo, desenhe o campo de direções. Com base no campo de direção, determine o comportamento de y com . E se esse comportamento depende do valor inicial de y em , descreva essa dependência:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação diferencial . A matéria relacionada aqui é o estudo de campos de direções em equações diferenciais ordinárias. Vamos precisar entender como desenhar o campo de direções para essa equação e, com base nele, determinar como se comporta quando tende ao infinito ( ). Também vamos verificar se esse comportamento depende do valor inicial de quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Basicamente, é um conjunto de pequenas setas em cada ponto do plano que indica a direção em que a solução da equação diferencial está se movendo naquele ponto. Essas setas são dadas pela inclinação da derivada naquele ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos desenhar o campo de direções para a nossa equação . Para cada valor de , calculamos :
  • Se , então .
  • Se , .
  • Se , (a inclinação é positiva).
  • Se , (a inclinação é negativa).
Isso nos mostra que a linha é uma solução de equilíbrio. As setas acima dessa linha apontam para cima (aumentando ) e as abaixo apontam para baixo (diminuindo ).

Passo 4

Com base no campo de direções, vamos analisar o comportamento de quando :
  • Para : Como , continua aumentando sem limite à medida que cresce.
  • Para : Aqui, , então diminui, mas se aproximando de sem nunca ultrapassar.
  • Para : A solução permanece constante em para todo .

Resposta

Concluindo, à medida que tende ao infinito ( ):
  • Se o valor inicial , cresce indefinidamente.
  • Se , se aproxima de .
  • Se , permanece constante em .
Portanto, o comportamento de depende do valor inicial em .

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