Para cada uma das equações abaixo, desenhe o campo de direções. Com base no campo de direção, determine o comportamento de y com
. E se esse comportamento depende do valor inicial de y em
, descreva essa dependência:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação diferencial
. A matéria relacionada aqui é o estudo de campos de direções em equações diferenciais ordinárias. Vamos precisar entender como desenhar o campo de direções para essa equação e, com base nele, determinar como
se comporta quando
tende ao infinito (
). Também vamos verificar se esse comportamento depende do valor inicial de
quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Basicamente, é um conjunto de pequenas setas em cada ponto do plano
que indica a direção em que a solução da equação diferencial está se movendo naquele ponto. Essas setas são dadas pela inclinação da derivada
naquele ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o campo de direções para a nossa equação
. Para cada valor de
, calculamos
:
- Se
, então . - Se
, . - Se
, (a inclinação é positiva). - Se
, (a inclinação é negativa).
Isso nos mostra que a linha
é uma solução de equilíbrio. As setas acima dessa linha apontam para cima (aumentando
) e as abaixo apontam para baixo (diminuindo
).
Passo 4
Com base no campo de direções, vamos analisar o comportamento de
quando
:
- Para
: Como , continua aumentando sem limite à medida que cresce. - Para
: Aqui, , então diminui, mas se aproximando de sem nunca ultrapassar. - Para
: A solução permanece constante em para todo .
Resposta
Concluindo, à medida que
tende ao infinito (
):
- Se o valor inicial
, cresce indefinidamente. - Se
, se aproxima de . - Se
, permanece constante em .
Portanto, o comportamento de
depende do valor inicial em
.