Um cano de água quente, com raio r1, tem a temperatura T1. O cano tem camada de isolamento espessa, para reduzir a perda térmica, com raio externo r2 e temperatura T2. Desenvolver a distribuição de temperatura, em coordenadas cilíndricas ( T-r ), no caso de uma transferência de calor em regime permanente, unidimensional, com propriedades constantes. Considere T1>T2 e r1. Considere: T1= número de letras do seu nome completo ( ^circ C), T2= número de letra do seu primeiro nome ( ^circ C) e r 1=a sua idade (mm) e r 2=2 x (a sua idade -mm ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cano de água quente com raio interno r1 e temperatura T1. Esse cano está envolto por uma camada de isolamento com raio externo r2 e temperatura T2. A gente precisa descobrir como a temperatura varia de acordo com a distância radial r, ou seja, em coordernadas cilíndricas ( T em função de r).
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transferência de calor por condução em regime permanente (onde a temperatura não muda com o tempo) e unidimensional (considerando apenas a direção radial). A gente vai precisar conhecer a equação geral da condução de calor em coordenadas cilíndricas e aplicar as condições de contorno dadas pelo problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação radializada:
1r ddr ( r dTdr ) = 0
Isso porque estamos considerando regime permanente e transferência unidimensional.

Passo 3

Vamos simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por r, temos:
ddr ( r dTdr ) = 0
Isso implica que:
r dTdr = C1
Onde C1 é uma constante de integração.

Passo 4

Isolando dTdr:
dTdr = C1r
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a r para encontrar T(r).

Passo 5

Integrando:
T(r) = C1 ln r + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar C1 e C2.
As condições são:
  1. Quando r = r1, T = T1.
  2. Quando r = r2, T = T2.

Passo 7

Primeira condição:
T1 = C1 ln r1 + C2 (1)
Segunda condição:
T2 = C1 ln r2 + C2 (2)

Passo 8

Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
T1 - T2 = C1 (ln r1 - ln r2)
Lembrando que ln a - ln b = ln(ab), temos:
T1 - T2 = C1 ln(r1r2)
Assim, isolando C1:
C1 = T1 - T2ln(r1r2)

Passo 9

Agora, substituímos C1 na equação (1) para encontrar C2:
T1 = ( T1 - T2ln(r1r2) ) ln r1 + C2
Isolando C2:
C2 = T1 - ( T1 - T2ln(r1r2) ) ln r1

Passo 10

Com C1 e C2 encontrados, podemos escrever a expressão final para a distribuição de temperatura T(r):
T(r) = T1 - T2ln(r1r2) ln r + [ T1 - T1 - T2ln(r1r2) ln r1 ]
Simplificando um pouco mais:
T(r) = T2 + T1 - T2ln(r1r2) ln(rr2)

Resposta

A distribuição de temperatura em coordenadas cilíndricas está dada por:
T(r) = T2 + T1 - T2ln(r1r2) ln(rr2)

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