Um cano de água quente, com raio , tem a temperatura . cano tem camada de isolamento espessa, para reduzir a perda térmica, com raio externo e temperatura . Desenvolver a distribuição de temperatura, em coordenadas cilíndricas ( ), no caso de uma transferência de calor em regime permanente, unidimensional, com propriedades constantes. Considere e . Considere: número de letras do seu nome completo número de letra do seu primeiro nome e sua idade e (a sua idade -mm ).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cano de água quente com raio interno e temperatura . Esse cano está envolto por uma camada de isolamento com raio externo e temperatura . A gente precisa descobrir como a temperatura varia de acordo com a distância radial , ou seja, em coordernadas cilíndricas ( em função de ).
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transferência de calor por condução em regime permanente (onde a temperatura não muda com o tempo) e unidimensional (considerando apenas a direção radial). A gente vai precisar conhecer a equação geral da condução de calor em coordenadas cilíndricas e aplicar as condições de contorno dadas pelo problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação radializada:
Isso porque estamos considerando regime permanente e transferência unidimensional.
Passo 3
Vamos simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso implica que:
Onde é uma constante de integração.
Passo 4
Isolando :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar .
Passo 5
Integrando:
Onde é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
As condições são:
Quando , .
Quando , .
Passo 7
Primeira condição:
Segunda condição:
Passo 8
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
Lembrando que , temos:
Assim, isolando :
Passo 9
Agora, substituímos na equação (1) para encontrar :
Isolando :
Passo 10
Com e encontrados, podemos escrever a expressão final para a distribuição de temperatura :
Simplificando um pouco mais:
Resposta
A distribuição de temperatura em coordenadas cilíndricas está dada por: