Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem e, especificamente, vamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata e, assim, determinar as curvas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial. Começamos isolando :

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação de forma que possamos identificar se ela é exata ou se precisamos de um fator integrante. Multiplicamos ambos os lados por :
Isso nos dá , onde:

Passo 4

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 5

Tentamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de . Calculamos:
Aqui, percebemos que o fator integrante não depende apenas de , o que complica um pouco. Portanto, adotamos uma abordagem diferente e consideramos .

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Agora, verificamos se a equação é exata. Calculamos as novas derivadas parciais:
Ainda não é exata, então precisamos ajustar o fator integrante ou tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição. Seja , então . Substituindo na equação original:
Essa é uma equação diferencial linear em .

Passo 8

Resolvendo a equação linear , encontramos o fator integrante:
Multiplicamos a equação por :
Integrando ambos os lados:

Resposta

As curvas integrais são dadas por:
onde é a constante de integração.

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Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI: