Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem e, especificamente, vamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata e, assim, determinar as curvas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial. Começamos isolando
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação de forma que possamos identificar se ela é exata ou se precisamos de um fator integrante. Multiplicamos ambos os lados por
:
Isso nos dá
, onde:
Passo 4
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 5
Tentamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. Calculamos:
Aqui, percebemos que o fator integrante não depende apenas de
, o que complica um pouco. Portanto, adotamos uma abordagem diferente e consideramos
.
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Agora, verificamos se a equação é exata. Calculamos as novas derivadas parciais:
Ainda não é exata, então precisamos ajustar o fator integrante ou tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos tentar uma substituição. Seja
, então
. Substituindo na equação original:
Essa é uma equação diferencial linear em
.
Passo 8
Resolvendo a equação linear
, encontramos o fator integrante:
Multiplicamos a equação por
:
Integrando ambos os lados:
Resposta
As curvas integrais são dadas por:
onde
é a constante de integração.
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Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI: